Isg 2002 mathematiques classe prepa hec (ect)

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ISG 2002 Option technologiqueExercice 11. On considŁre les suites (u ) et (v ) dØ…nies par :n n>1 n n>11 1 1 1u = 1+ + ++ lnn et v =u :n n n2 3 n nn+1R1 dt 1(a) Pour tout entier naturel n non nul, montrer que : 6 6 .n+1 t nn(b) Montrer que les suites (u ) et (v ) sont monotones.n n>1 n n>1(c) ...

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• Publié par: shura
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• Langue: Français

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ISG 2002 Option technologique

Exercice 1 1. Onconsidère les suites(u n ) n>1 et(v n ) n>1 dénies par : 1 11 1 u n + += 1 +  +lnn et v n =u n : 2 3n n n+1 R 1dt1 (a) Pourtout entier naturelnnon nul, montrer que :6 6. n+ 1t n n (b) Montrerque les suites(u n ) n>1 et(v n ) n>1 sont monotones. (c) Déterminerlim (u n v n ). n!+1 (d) Endéduire que les suites(u n ) n>1 et(v n ) n>1 sont convergentes et de même limite. n 1 11 P 1 2. Pourtout entier naturelnnon nul, on noteS n = + +  + =. n+ 1n2+ 2n n+k k=1 (a) Montrerqueuu=Sln 2. 2n nn (b) EndéduirelimS n . n!+1 3. Pourtout entier naturelnnon nul, on note :     ln 2ln 2ln 2 T n += exp+ exp  + expn; n+ 1n+ 22n 2 (a) Etablirque pour toutxde lintervalle]0; 1]:1 +x <exp(x)<1 +x+x. (b) Endéduire un encadrement deT n . 1 11 1 (c) Justierque :+ +  +<. 2 22 (n+ 1)(n+ 2)(2n)n (d) DéterminerlimT n . n!+1

Exercice 2 On donne un réelxet u entierntels que :0< x <1etn>2. On estime que dans une population f la proportion dindividus connaissant la signication du sigle M.B.A estx. On interrogenpersonnes de la population F et on demande à chacune dentre elle de choisir entre trois dénitions di¤érentesA 1 ,A 2 ,A 3 du sigle M.B.A. celle qui lui paraît la bonne. La dénitionA 1 étant la dénition exacte, on admet que les personnes connaissant la dénition du sigle M.B.A. choisissent nécessairementA 1 , les autres personnes (ignorantes) répondent au hasard. De pus, on suppose que les réponses fournies par les di¤érentes personnes sont indépendantes entre elles. On note : Clévénement "la personne choisie connait la signication du sigle M.B.A." D i lévénement "la personne choisie donne la réponseA i ",16i63

1. (a)Pour16i63, on notep i les probabilitésp i =p(D i ). 1 + 2x1x Montrer quep 1 = etp 2 =p 3 =. 3 3 (b) Calculerla probabilitéq(x)quune personne ayant choisie la réponseA 1 connaisse la signication du sigle M.B.A.

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