Mathématiques 1 2004 Classe Prepa PSI Concours Centrale-Supélec

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Concours du Supérieur Concours Centrale-Supélec. Sujet de Mathématiques 1 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2004
• Concours Centrale-Supélec

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 28 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

MATHÉMATIQUES I
Notations, définitions Si I est un intervalle, F une application de I dans I , n un élément de IN∗ , on n 0 pose F = F o … o F (composé de n fois F ) ; on convient que F = Id I . Si I et J sont deux intervalles de IR et F une application de I dans J , on dit que F est 1 un C -difféomorphisme de I sur J si et seulement si F est une bijection de 1 1 classe C de I sur J dont la réciproque est elle aussi de classe C . On rappelle 1 que, pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que F soit de classe C , que la dérivée F′ de F ne s’annule pas sur I , et que F ( I ) = J . On désignera par ε l’ensemble des couples ( I, f ) où I est un intervalle de IR de ∞ la forme [ 0, r ] avec r > 0 et f une application de classe C de I dans lui-même vérifiant : i) f ( 0 ) = 0 , ii) ∀ x ∈ I \ { 0 } , f ( x ) < x , iii) ∀ x ∈ I , f ′ ( x ) > 0 . Si ( I, f ) et ( J , g ) sont dans ε , on dit que ( I, f ) et ( J , g ) sont conjugués si, et seu+ lement si, existent deux réels r et r ′ dans IR ∗ tels que [ 0, r ] ⊂ I , [ 0, r ′ ] ⊂ J et 1 un C -difféomorphisme croissant h de [ 0, r ] sur [ 0, r ′ ] tel que :
∀ y ∈ [ 0, r ′ ] , g ( y ) = h o f o h ( y ) .
–1

Enfin, si λ est dans ] 0, 1 ] , ε tels que f ′ ( 0 ) = λ . Objectif du problème

ελ

désigne l’ensemble des couples ( I, f ) éléments de

Le but du problème est de prouver que si λ est dans ] 0, 1 ] , alors deux éléments quelconques de ε λ sont conjugués puis d’étudier le problème de la conjugaison dans ε 1 . Dépendance des parties Le résultat du I.D est utilisé dans les parties II et III. Les parties II et III sont formellement indépendantes, mais certaines questions de la partie III se traitent sur le modèle de questions de la partie II ; elles sont explicitement signalées dans l’énoncé. Concours Centrale-Supélec 2004 1/6

MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

Filière PSI
Partie I - Préliminaires
I.A - Soit ( I, f ) et ( I, g ) deux éléments conjugués de f ′ ( 0 ) = g′ ( 0 ) .

ε.

Montrer que

I.B - Soit f une application de [ 0, 1 ] dans lui-même telle que ( [ 0, 1 ], f ) appartienne à ε . I.B.1) Montrer que f ′ ( 0 ) est dans ] 0, 1 ] . n I.B.2) Montrer que la suite de fonctions ( f ) n ≥ 1 converge simplement vers 0 sur [ 0, 1 ] . I.B.3) Montrer que cette convergence est uniforme. I.C - Soit ( u n ) n ≥ 0 une suite de réels strictement positifs. On suppose que la série de terme général a n = u n – 1 converge absolument et on pose, si n ∈ IN :
n

Pn =

k=0

∏ uk .

En considérant la série de terme général ( ln P n + 1 – ln P n ) , montrer que la suite ( P n ) converge vers un réel strictement positif. I.D - Soit I un intervalle de IR et ( φ n ) n ≥ 0 une suite de fonctions de I dans IR ∗ . On suppose que la série de fonctions de terme général ψ n = φ n – 1 converge normalement sur I . On pose, si n ∈ IN :
+ n

Qn =

k=0

∏ φk .

Montrer que la suite de fonctions ( Q n ) n ≥ 0 converge uniformément sur I vers + une fonction à valeurs dans IR ∗ .

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MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

Partie II - Conjugaison d’éléments de contractants

ε localement

Soient λ dans ] 0, 1 ] et f une application de [ 0, 1 ] dans lui-même telle que ( [ 0, 1 ], f ) appartienne à ε λ . Soit, pour n ∈ IN :
f u n = ----- . n λ
n

Soit enfin h λ l’application de [ 0, 1 ] dans [ 0, 1 ] définie par : ∀ x ∈ [ 0, 1 ], h λ ( x ) = λx . II.A - Si n ∈ IN , calculer u n o f – h λ o u n + 1 . II.B II.B.1) II.B.2) II.C II.C.1) II.C.2) Montrer qu’il existe ε > 0 tel que λ + ε < 1 et ( λ + ε ) < λ . Montrer qu’il existe a dans ] 0, 1 ] tel que : ∀ x ∈ [ 0, a ] , f ( x ) ≤ ( λ + ε )x . Montrer qu’il existe C ≥ 0 tel que :
2 2

∀ x ∈ [ 0, 1 ] , f ( x ) – λx ≤ Cx .

Montrer qu’il existe n 0 ∈ IN tel que :
n

∀n ≥ n 0 , ∀ x ∈ [ 0, 1 ] , f ( x ) ∈ [ 0, a ] .

II.C.3) Pour n ≥ n 0 et x ∈ [ 0, 1 ] , majorer u n + 1 ( x ) – u n ( x ) et prouver que la suite de fonctions ( u n ) n ≥ 0 converge uniformément sur [ 0, 1 ] . Sa limite sera notée u . II.D II.D.1) Montrer que la série de fonctions de terme général
un + 1 ′ --------------- – 1 converge normalement sur [ 0, 1 ] . un ′

II.D.2)

En déduire que u est un C -difféomorphisme de [ 0, 1 ] sur son image.

1

II.E - Conclure que ( [ 0, 1 ], f ) et ( [ 0, 1 ], h λ ) sont conjugués.

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MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

Partie III - Conjugaison des éléments de l’identité
∗

ε tangents à

On note ε 1 l’ensemble des éléments ( I, f ) de ε 1 tels que l’ensemble (k + 1) ∗ { k ∈ N ∗, f ( 0 ) ≠ 0 } soit non vide. Pour ( I, f ) dans ε 1 , on note
ν ( f ) = min { k ∈ N ∗, f
(k + 1)

( 0 ) ≠ 0 } . La formule de Taylor-Young donne alors :
ν( f ) + 1

quand x → 0 , f ( x ) = x – ax

+ o( x

ν( f ) + 1

–f (0) ) avec a = ----------------------------------- . ( ν( f ) + 1) !

(ν( f ) + 1)

III.A III.A.1) Pour q dans IN∗ , soit θ q la fonction définie sur [ 0, 1 ] par :
x ∀ x ∈ [ 0, 1 ] , θ q ( x ) = --------------------------- . q 1⁄q (1 + x ) ∗ Montrer que ( [ 0, 1 ], θ q ) est dans ε 1 , préciser ν ( θ q ) .

Dans la suite de III.A, on considère une fonction f de [ 0, 1 ] dans [ 0, 1 ] telle que ∗ ( [ 0, 1 ], f ) appartienne à ε 1 et on pose q = ν ( f ) puis :
(0) f a = – -------------------------- . (q + 1) !
(q + 1)

III.A.2) a) Vérifier que a est strictement positif. b) Si ( I, g ) appartient à ε et est conjugué à ( [ 0, 1 ], f ) , vérifier que ( I, g ) est ∗ aussi dans ε 1 avec ν ( g ) = q . III.A.3) Dans ce III.A.3, on suppose qu’il existe k dans { 2, 3, …, q } et b dans IR∗ tels que quand x → 0 , f ( x ) = x – ax
∀ x ∈ IR , h ( x ) = x + βx .
+ 1 a) Montrer qu’il existe r et r ′ dans IR ∗ tels que h induise un C -difféomorphisme de [ 0, r ] sur [ 0, r ′ ] . + k q+1

+ bx

q+k

+ o( x

q+k

).
+

Soit β un nombre réel et h la fonction définie sur IR par :

Dans la suite de III.A.3, les réels r et r ′ sont ainsi choisis et on note h féomorphisme réciproque de la restriction de h à [ 0, r ] . –1 k k b) Établir :quand y → 0 , h ( y ) = y – β y + o ( y ) .

–1

le dif-

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MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

c) Déterminer les développements limités à l’ordre q + k en 0 de x a h o f ( x ) –1 puis de y a h o f o h ( y ) . III.A.4) De ce qui précède déduire l’existence d’un réel E et d’un couple ( I, g ) ∗ de ε 1 conjugué à ( [ 0, 1 ], f ) et tels que :
y quand y → 0 , g ( y ) = y – ------------ + E y q
q+1 2q + 1

+ o( y

2q + 1

).

III.B - Dans cette section III.B, q est un entier strictement positif, E est un nombre réel et g une application de [ 0, 1 ] dans lui-même telle que ( [ 0, 1 ], g ) ∗ appartienne à ε 1 et que :
y quand y → 0 , g ( y ) = y – ------------ + E y q
q+1 2q + 1

+o ( y

2q + 1

).

On définit une application τ q sur ] 0, 1 ] par :
1 ∀ y ∈ ]0, 1] , τ q ( y ) = ----- . q y

Donc τ q est un C -difféomorphisme de ] 0, 1 ] sur [ 1, + ∞ [ ; on ne demande pas –1 de le vérifier. Soit enfin G = τ q o g o τ q . III.B.1) –1 a) Identifier T q = τ q o θ q o τ q . b) Quelles propriétés de G déduit-on des propriétés ii) et iii) du début de l’énoncé ? c) Déterminer un nombre réel R tel que :
R quand x → + ∞ , G ( x ) = x + 1 + ---- + O ⎛ ------------------⎞ . ⎝ 1 + 1 ⁄ q⎠ 1 x x

1

III.B.2) a) Montrer qu’il existe un entier naturel n 0 tel que :
n n ∀n ≥ n 0 , ∀ x ∈ [ 1, + ∞ [ , G ( x ) ≥ x + -- . 2

Pour tous n entier naturel et x réel supérieur ou égal à 1 , on pose :
un ( x ) = G ( x ) – n .
n

b) Montrer qu’il existe C > 0 tel que :
C ∀n ≥ n 0 , ∀ x ∈ [ 1, + ∞ [ , u n + 1 ( x ) – u n ( x ) ≤ --- . n

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MATHÉMATIQUES I

Filière PSI

En déduire que pour tout X ≥ 1 il existe un réel strictement positif K tel que : ∀n ≥ n 0 , ∀ x ∈ [ 1, X ] , u n ( x ) ≤ K ln n . c) Pour tous n entier naturel strictement positif et x réel supérieur ou égal à 1 , on pose : v n ( x ) = u n ( x ) – R ln n , où R est la constante définie au III.B.1-c). Démontrer, en procédant comme au II.C.3), que la suite de fonctions ( v n ) n ≥ 0 converge vers une fonction v et que cette convergence est uniforme sur tout segment inclus dans [ 1, + ∞ [ . d) Si x ≥ 1 , vérifier que v o G ( x ) = v ( x ) + 1 . III.B.3) a) Montrer que : quand x → + ∞ , G′ ( x ) = 1 + O ⎛ -----⎞ . ⎝ 2⎠
x 1

b) Montrer que lim v ( x ) = +∞ et,