Mathématiques 1 2007 Classe Prepa HEC (S) HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques 1 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1 2007 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2007
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 14 juin 2007
• Nombre de lectures: 149
• Langue: Français

Extrait

HEC 2007, math 1, option S Pour tout entiernupsri´eroeuge´ua`lano,2etonM n (R)l’eevecspacleedotirirecmstaeer´arscs d’ordrenle,scffieoca`e´rstneiItairecdilmaetentit´e,M n,1 (Rceveirote’l)capscerias`deelatsm n nlignes et 1 colonne. On confondM n,1 (R) etR. Pre´liminaires SoitEpanOlleproneusemecevritor´ell.eeracspneuE, toute applicationνdeEdansR + ve´rifiant: i.ν(x) = 0 si et seulement six= 0 ; ii.pour toutλopruee,lr´ottuxdeE:ν(λx) =|λ|ν(x) ; 2 iii.pour tout couple (x, y) deE:ν(x+y)6v(x) +v(y). n Montrer que l’application|| || ∞ deRva`asdsnaelruR + rutveucrtteuor:poiepae´nfid   x 1 n n   X= deR,||X|| ∞ = max|x i |, est une norme surR. . 16i6n x n Partie I

A. Unenorme surM n (R) 1)’aellippticaquona`,ituottameecirMnortreuqA= (a i,j ) deM n (Rel,)er´ecielasso n   X max|a i,j |mrserunonetuniefid´,M n (R). La norme deAranot´eese||A||. 16i6n j=1 n ´ 2)a)Etablir pour toutXdeRga´ein,l’e:t´li||AX|| ∞ 6||A|| × ||X|| ∞ . n b)Montrer qu’il existe un vecteurX 0 deR, non nul, tel que||AX 0 || ∞ =||A|| × ||X 0 || ∞ . ||AX|| ∞ End´eduireque||A||= sup. X∈R,X6=0 ||X|| ∞ n   2 ´ c)Etablir alors que pour tout couple (A, B) deM n (R) ,on a||AB||6||A|| × ||B||. On dit qu’une suite(A m ) m>0 de matrices deM n (R)converge vers une matriceAdeM n (R)   silim||A m −A||= 0. On poseA m =a i,j (m)etA= (a i,j ) 16i,j6n . 16i,j6n m→+∞ 2 3)a)Montrer que (A m ) m>0 converge versAsi et seulement si pour tout (i, j) de[1, n]] : lima i,j (m) =a i,j . m→+∞ b)Montrer que si (A m ) m>0 converge versAet (B m ) m>0 converge versB, alors (A m B m ) m>0 converge versAB. 4)SoitAde´nuel´ementM n (R) tel que||A||<1 m a)imr´lDnemieretA. m→+∞ b)Montrer que siλellde´reepoerurprvaletuneesA, alors|λ|<reuielqumaesictrsenE.1de´d I−AetI+Asont inversibles.   m X k c)Montrer que la suiteAconverge, et exprimer sa limite en fonction de la matrice m k=0 A. Soit(A m ) m>0 une suite de matrices deM n (R)On.edeire´saleuqtidn´eraltermeg´eA m (qu’on p   X X noteraA m ) converge, si la suiteA m converge. p m>0 m=0 +∞ X Danscecas,salimiteestnote´eA m . m=0

5)unnoelltrmaenicontine,uteetuqseredenacsnconsid`ONdeM n (R´eiq´)etrefiiiu´vorrplepa p p−1 suivante : il existe un entierpieerp´suga´eouur`l2aetqleuN= 0 etN6= 0. +∞ X X 1 1 k k a)Montreeuqr´saleireNconverge. On noteM=N. k!k! k>0k=0 n n b)Montrer que{X∈R/(M−I)X= 0}={X∈R/N X= 0}. X 1 k 6)a)SoitDune matrice diagonale deM n (Rlas´erientrerqueoM.)Dconverge. k! k>0 b)SoitAune matrice deM n (R) diagonalisable,Dune matrice diagonale etPune matrice X 1 −1 k inversible telles queA=P DPM.nortreuqleas´erieAconverge, et exprimer sa k! k>0 +∞+∞ X X 1 1 k k sommeAen fonction dePetD k!k! k=0k=0 X 1 k On admetuja`alqs’uprobfinduel`emque pour toute matriceAdeM n (R)eri´eas,lA k! k>0 +∞ X 1 k converge, et on note :exp(A) =A. k! k=0   m 1 ∗ 7)SoitA´le´nemetndueM n (R). On pose, pour toutmdeN:A m =I+A. m ´ a)taE´t:ielage´ni’lrilb m m   k X X 1m(m−1)∙ ∙ ∙(m−k+ 1)||A|| k ||A−A m ||61− k k!m k! k=0k=0 b)End´edualeuqeri(etiusA m ) m converge vers exp(A). B.Propri´et´esdel’exponentielledematrice On admet que siAetBnosntsdet´el´emeM n (R)tels queAB=BA, alors, exp(A+B) = exp(A) exp(B). 1)Montrer que pour toute matriceAdeM n (R), la matrice exp(Aenimretee)rversstinetd´ible son inverse. 2)a)SoitAune matrice deM n (R). Montrer qu’il existe une matriceS A telle que exp(A)−I=A(I+S A ). x ´ b)dierEtuuresfieinno´dcnitalofR + par :x7→e−1−2x. c)riude´dneEquesi||A||<1, alors||S A ||<1. d)On suppose que||A||<1 et que exp(A) =I. Montrer queAest la matrice nulle. ++ ’ensemble 3)On noteS n lleed’esdroreyssete´muqir´rseieldctortricesma’lecevseapn, etS n l desmatricessym´etriquesre´ellesd’ordrendont les valeurs propres sont strictement positives. ++ a)Montrer que siA´le´nemeenutstdeS n , alors exp(A´lmenedtee)tsnue´S n . ++ b)etnia`erpxertsoMtnerqricationeuel’applS n est une surjection deS n surS. n 4)SoitAetBdeux matrices deS n telles que exp(A) = exp(B). On noteu(resp.v) n l’endomorphisme deRonanueiqntmesoase´ica`cA(resp.B), et exp(u) (resp. exp(v)) n l’endomorphisme deRquninocassatnemeea`e´ico(pxA) (resp. exp(B)). a)Montrer queAetBopres.aleursprmseˆemvsotnel b)Montrer queA×exp(B) = exp(B)×A. c)SoitFun sous-espace propre dev. i.Montrer queFepropredeexp(tnemosnue-sucapse´estlegav). ii.Montrer que la restriction deua`Finduit un endomorphisme deFdiagonalisable. d)abesusenpdteanlacE¸nsanatioalisagondediednv, montrer alors queuetvmˆestlonmese vecteurspropres.Ende´duirequeA=B. 2

Partie II n 1)`ereOnconsidRmuni de sa base canoniqueB= (e 1 , e 2 , . . . , e n ). n Soitfl’endomorphisme deRrpani´dfief(e 1 ) = 0, et pour toutide[2, n]],f(e i ) =e i−1 . On noteNalamrtciaessi´oc`aeefnemela`tsabaeelrivatBtruop,renimrDe.te´toukdeN, k la matriceN. 2)Soitprne´u]0elde,cirtseltinamsed´efi[.On1R p etQ p par :R p = (1−p)I+pN=I+Q p . n−1 X j p −p j ´ a)pE(eaxtgalit´e:blirl’´eQ p ) =eN. j! j=0 b)Calculer||R p ||et||Q p ||. Montrer que||exp(Q p )||61. 3)a)Soitmutnensreie´purieurou´egal`a1,tep 1 , p 2 , . . . , p m ´esrsdel’ielerntllav0]eed,1[. On pose pour toutide[1, m]] ,R i =R p i etQ i =Q p i tron.Megs´leersse´tilasetnaviu:   hi  m mm Y XX exp(Q k ) = expQ k = exp−p k (I−N) k=1k=1k=1 ´ b)Etablir la relation suivante : m m Y Y   R k −exp(Q k ) = [R 1 −exp(Q 1 )](R 2 × ∙ ∙ ∙ ×R m )−exp(Q 1 ) exp(Q 2 )× ∙ ∙ ∙ ×exp(Q m )−R 2 × ∙ ∙ ∙ ×R m k=1k=1 m mm Y YX c)rotaoisniuavtn:eEnd´eduirelamaj||R k −exp(Q k )||6||R k −exp(Q k )||. k=1k=1k=1 n−1 k X p −p 1 −p 1 −p 1 1  4)a)rtreMnoagil’le´e:t´||exp(Q 1 )−R 1 ||= e−1 +p 1 +p 1 e−1 +e . k! k=2 b):´tseagilnie´estluxdeivssenemserieccudnEude´ m mm Y YX 2 2 ||exp(Q 1 )−R 1 ||62pet||R k −exp(Q k )||62p 1k k=1k=1k=1 Partie III Les notations sont celles de la partieII. Onconside`remesecmodeainn1e(p`i6m < n), telles que pour toutide[1, m]], laii-e`emipe`ec m X donnePileaveclaprobabilite´p i bobaalrpvaceaFecet,´e1ilit−p i . On poseλ=p i . i=1 Unjoueurlancesuccessivementlapremi`erepi`ece,ladeuxi`emepi`ece,etc.jusqu’a`lame,eci`mepe-`i cetteexp´eriencee´tantmode´lis´eeparunespaceprobabilise´(Ω,A, P). Pour toutkde[1, m]], on noteS k esedsuisl’`asunetboeliPederbunomaleae´egtoir´laelbaeraailvakpremiers lancers. 1)a)Montrer que pour toutkde[1, m]], leskprrsileail`´e´me+e1nemedmeptrsudlereengi produit matricielR 1 ×R 2 ×. . .×R k deoialtlenrpe´estnerS k . m mn−1 k Y YX λ −λ b)Montrer la relation suivante :||R i −exp(Q i )||=P([S m =k])−e .  k! i=1i=1 k=0 +∞m X X k λ −λ2 p. c):etnaEdne´udrile’in´egalit´esuivP([S m =k])−e62 i   k! k=0 i=1 2)rataoisneldse´lcntfaitesPascalsos:ivsuteansunpDanammerogr const m =...; Type tab = array[1..m] of real; Var prob : tab On suppose queprob´tilibaborpseltnsieentcop 1 , p 2 , . . . , p m (ainsiprob[1]contientp 1 etc.) ´ EcrireunefonctionPascaldontl’en-teˆteestSm(prob : tab) : integerqui simule la variableal´eatoireS m .

3