Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (S) Concours ESC

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Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 1999

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 247
• Langue: Français

Extrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION SCIENTIFIQUE Année 1999

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.

Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

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Exercice 1 Partie A 0 1 1 10 3 3 @ A Soitulendomorphisme de lespace vectorielR, de matriceM = 02 0 dans la base canonique deR. 1 1 2 2 1. Identier:u3u+ 2Id 3 . R 2. Déterminerles valeurs propres et les sous-espaces propres deu. 3. Lendomorphismeuest-il diagonalisable ?

Partie B Eest un espace vectoriel réel de dimensionn(n>1). 2 uest un endomorphisme deEvériant:u3u+ 2Id E = 0.

1. Onpose:v=uIdetw=u2Id. E E

(a) Identier(vw)et en déduire que:E=Im(v) +Ker(w). (b) Identiervwetwv; en déduire que:Im(w)Ker(v)etIm(v)Ker(w). (c) Montrerque:E=Ker(v)Ker(w). (d) Prouverqueuest diagonalisable.

2. (a)Montrer quil existe deux suites(a n ) n2N et(b n ) n2N telles que: n0 8n2N; u=a n u+b n Id E (avec la convention:u=Id E ). Donner les valeurs dea 0 ; b 0 ; a 1 etb 1 . (b) Etablirque:8n2N; a n+2 = 3a n+1 2a n . En déduire les expressions dea n etb n , en fonction den. n (c) Exprimeruen fonction den,uetId E .

Exercice 2 +1 R t x1 Dans tout lexercice, les propriétés de la fonction, dénie par(x) =e tdt, seront utilisées sans démon- 0 stration.

Partie A 1. Rappelerle domaine de dénition de la fonction.  2. Donnerla valeur de(n), pourn2N. + 3. Ecrire,pourx2R, la relation entre(x+ 1)et(x). p 1 4. Enutilisant le changement de variableu= 2t, calculer( ). 2 3 5 En déduire( )et( ). 2 2

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Partie B + 1 t R e 1. Montrerque, pour tout réelx, lintégrale p cos(tx)dtest absolument convergente. 0 t + 1 t R e On note alorsfla fonction dénie surRpar:f(x) = p cos(tx)dt. t 0 p 2. Montrerque:8x2R;jf(x)j6. 2 3. (a)Etablir linégalité:8(a; b)2R;jcosacosbj6jabj. p  2 (b) Endéduire que:8(x; x 0 )2R;jf(x)f(x 0 )j6jxx 0 j. 2 (c) Etudierla continuité defsurR. +1 R p t 4. (a)Montrer que, pour tout réelx, lintégralee tsin(tx)dtest convergente. 0 +1 R p t On pose alors, pour tout réelx:g(x) =e tsin(tx)dt. 0 (b) Etablirsuccessivement que : 2 (ab) 2 8(a; b)2R;jcosacosb+ (ab) sinbj6 2 p  f(x 0 +h)f(x 0 ) 3 8x 0 2R;8h2R;j+g(x 0 )j6jhj h8 0 (c) Endéduire quefest dérivable surRet exprimerfen fonction deg.

Partie C (n+1) t R e On dénit la suite(u n ) n2N par:8n2N; u n = p cos(t)dt. n t

 n 1. Prouverque:8n2N;ju n j6e.

+1 P 2. Etablirque la série de terme généralu n converge et que:u n =f(1). n=0 Exercice 3 Soitnun entier naturel non nul. Une urneU n contientnboules numérotées de1àn. One¤ectue dans cette urne une succession de tirages dune boule, en appliquant la règle suivante :si une boule tirée porte le numérok, avant de procéder au tirage suivant, on enlève de lurne toutes les boules dont le numéro est supérieur ou égal àk. On noteX n la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour vider lurneU n de toutes ses boules.

Partie A 1. Donnerla loi deX 1 , la loi deX 2 et leurs espérances. 2. Déterminerla loi deX 3 et calculerE(X 3 ). 3. Déterminerla loi deX 4 et calculerE(X 4 ).

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Partie B On étudie désormais le cas général.

1. CalculerP(X n = 1)etP(X n =n). 2. SoitN 1 , la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée. (a) Reconnaîtrela loi deN 1 . ( 0sii6k1 (b) Vérierque8i2[2; n]];8k2[2; n]]; P(X n =k=N 1 =i) = P(X=k1)sii>k i1 n1 1 P (c) Montrerque:8k2[2; n]]; P(X n =k) =P(X i =k1). n i=k1 On pourra admettre les résultats (b) et (c) pour résoudre les questions suivantes. 3. CalculerP(X n = 2).

4. Pourn>2, on pose :v n =n!P(X n =n1).

(a) Etablirque:8n>2; v n+1 =v n +n. (b) EndéduireP(X n =n1).

Partie C n1 1 P 1. Montrerque:8n>2; E(X n ) =E(X i ) + 1. n i=1 1 2. Endéduire que:8n>2; E(X n ) =E(X n1 ) +. n n P 1 3. Montrerenn que:8n>1; E(X n ) =. k k=1

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