Mathématiques 2001 Classe Prepa B/L Concours Ecole Normale Supérieure

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Concours du Supérieur Concours Ecole Normale Supérieure. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

ENS

SESSION DE 2001

COMPOSITIONDEMATHEMATIQUES

Sujet commun :ENS Ulm-Cachan-Fontenay

Durée :4 heures

Lénoncé comporte 5 pages

Calculatrice autorisée

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EXERCICE I On jette au hasardrjetons dansnboites(n>3)de la façon suivante :chaque jeton a la même probabilité de tomber dans chacune des boites et on suppose que les jetons sont lancés indépendamment les uns des autres. ème 1. SoitA i lévènement " laiCalculerboite na pas reçu de jeton ".P(A i ): 2. SoitN n Calculerle nombre de boîtes nayant pas reçu de jeton.E(N n )(on pourra exprimerN n en fonction des variabl; ngoù1prend ses valeurs dansf0;1get vaut1si et seulement lévènement es1 A pouri2 f1; :: A i i A i est réalisé). 2 2 3. CalculerP(A i \A j )pour tout(i; j)2 f1; ::; ngpuis calculerE(N):En déduire la varianceV(N n )deN n : n 4. Onconsidère ici un nombre variablende boites et lon fait dépendrerden(on notera alorsr=r n ):On r n suppose quil existec2Rtel que!clorsquentend vers linni. n (a) Calculerla limite deE(N n =n)lorsquentend vers linni. (b) Calculerla limite deV(N n =n)lorsquentend vers linni. 2 2 (c) Soit" >0:Montrer que"16(N = jN n =nE(N n =n)j> " n nE(N n =n)): En déduire queP(jN n =nE(N n =n)j>")!0lorsquentend vers linni.Quelle est la signication de ce résultat ?

EXERCICE II 2 2 Soitflapplication deRdansRdénie par(x; y)7!(2x+ 3y; x+ 2y), etAla matrice defdans la base 2 canonique deR: 2 22 22 2 On dénitC=f(x; y)2R= x3y= 1getE=f(x; y)2N= x3y= 1g:

1. (a)LapplicationfSi oui, calculer son inverse.est-elle inversible ? (b) Montrerquef(C) =C: 2n 2. Montrerquefest un endomorphisme diagonalisable deR;puis déterminerApour toutn2N: 3. Onprend(x 0 ; y 0 )2Eet on dénit la suite((x n ; y n )) n2N par récurrence en posant,  pour toutn2N;(x n ; y n ) =f((x n1 ; y n1 )): (a) Montrerque les éléments de cette suite appartiennent àE: 2 (b) Vérierque(1;0)2Eet en déduire, dansN;une innité de solutions, que lon explicitera, de léquation 2 2 x3y= 1:

PROBLEME Dans ce problème, on étudie un résultat de théorie de jeux du à Blackwell, avec une application à lexistence de partitions bien réparties sur lensemble des entiers.

NOTATIONS d Dans le problème, on noteraR;oùdest un entier strictement positif, lensemble desd-upletsu= (u(1); :::; u(d)) d de réels. Pour tout vecteuru2R;on dénit la longueur deu;notéekuk, par v d u X t 2 kuk= (u(i)): i=1

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d De plus, pour tous vecteursuetvdeR;on dénit< u;v >par

d X < u;v >=u(i)v(i): i=1

 Enn, une suite réelle(u n ) n>1 est dite bornée parM2R + ;si pour toutn2N;on aju n j6M:

PRELIMINAIRE Soient(w n ) n>1 et(a n ) n>1 deux suites de réelspositifs, telles que la suite(a n ) n>1 est bornée par un réelM2R + et pour tout entiern>1   2 n a n w6w+ (1) n+1n 2 n+ 1(n+ 1) On veut montrer, dans ce préliminaire, qualors la suite(w n ) n>1 tend vers zéro lorsquentend vers+1:

1. Montrerle résultat dans le cas où la suite(a n ) n>1 est identiquement nulle.

2. Montrerque pour tout entierk>0;on a   2 n k w k+1 6w n +M 2 n(+ 1k+ 1)

3. Endéduire le résultat annoncé, i.e.limw n = 0 n!+1

PREMIERE PARTIE  Soit(x n ) n>1 une suite de réels bornée par un réelM2R + :On note, pour toutn2N;

n X 1 x n =x k : n k=1 On suppose que la suite(x n ) n>1 satisfait la propriété suivante :  x n+1 x n 60;8n2N(2) 1. Montrerque la suite(x n ) n>1 est bornée parM  2. Montrerque pour toutn2N;   2 n1 2 22 jx n+1 j6jx n j+jx n+1 j 2 n(+ 1n+ 1)

3. Montrerque limx n = 0(3) n!+1 4. Donner un contre-exemple à la limite (3) lorsquon ne suppose plus que la suite(x n ) n>1 est bornée, la propriété (2) restant vériée.

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DEUXIEME PARTIE d Soientd2Netla partie deRdénie par d  =f(x(1); :::; x(d))2R= x(i)60;8i2 f1; ::; dgg d d Pour toutu2R;on noteP  (u), le vecteurxdeRdéni parx(i) =u(i)pour touti2 f1; ::; dg;où, pour   a2R; a=asia60eta= 0sinon. d 1. Vérierque pour tous vecteursu; vetwdeRet tout réelon a 2 (a)u >< u;=kuketv >< u;=< v;u > (b)v< u;+w >=v >< u;+ < v;w > 2 22 (c)ku+vk=kuk+kvk+ 2v >< u; d 2. Soitu2R:

(a) Montrerque pour toutv2;on akuP  (u)k6kuvk: (b) MontrerqueP  (u)est luniquew2tel quekuwk6kuvkpour toutv2:Comment peut-on interpréterP  (u)géométriquement ?

3. Montrerque lon akuP  (u)k6kuk: d d Soit(x n ) n>1 une suite devecteursdeR:On note, pour tout entiern>1; x n lélément deR, déni par

n X 1 x n =x k : n k=1 On suppose que la suite(kx n k) n>1 est bornée et que pour toutn>1 < x n P  (x n ); x n+1 P  (x n )>60 (4) 2  Enn, on note pour toutn2N; w n =kx n P  (x n )k: 4. Montrerque   2 n1 2 w n+1 6w n +kx n+1 P  (x n )k 2 n+ 1(n+ 1) 5. Montrerquelimw n = 0 n!+1  6. Onsuppose ici, que pour toutn2N; x n (1) +  +x n (d) = 0:Prouver alors, que pour touti2 f1; ::; dg; on alimx n (i) = 0 n!+1 TROISIEME PARTIE  d Soientd2Net(c n ) n>1 une suite à valeurs dansf1; ::; dg:On dénit pour toutn2N; v n 2Rpar  1sic n =i v n (i) = 0sinon

d pouri2 f1; ::; dg:Soitp2R;dont toutes les coordonnées sont positives, et tel quep(1) +  +p(d) = 1:On  dénit pour toutn2N; x n =v n p;et lon désigne, comme dans les parties précédentes, parx n , la moyenne arithmétique desx k pour16k6n:

d P  1. Montrerque pour toutn2N;on ax n (i) = 0et quil existei n 2 f1; ::; dgtel quex n (i)60: i=1

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 2. Montrerque lon peut choisir la suite(c n ) n>1 de telle sorte que pour toutn2N;on ait < x n P  (x n ); x n+1 P  (x n )>60 avecP  déni comme dans la deuxième partie.  3. Enutilisant les résultats de la partie précédente, montrer que pour toutn2Net pour touti2 f1; ::; dg; on a n X 1 limv k (i) =p(i) n n!+1 k=1 4. Endéduire quil existe une famille(A i ) 16i6d de parties deux à deux disjointes deN;telles que pour tout i2 f1; ::; dg 1 limjf1; ::; ng \A i j=p(i); n n!+1 où pour tout ensemble niV;jVjdésigne le cardinal deV:

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