Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (ECT) INSEEC

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Examen du Supérieur INSEEC. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 238
• Langue: Français

Extrait

INSEEC MATHEMATIQUES 1`ere´epreuve(optiontechnologique)

Lescandidatsnedoiventpasfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmat´eriel ´electroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e.

Exercice 1 Onconside`relesmatrices:      1 0 01 0 01 1 01 1 0      I = 01 0 A = 6−5 6 B = 2−2 2 etP = 1 0 2 0 0 13−3 41−01 1−1 1

Partie A 1. 2 (a)D´eterminerdeuxr´eelsaetbtels que :A=aA+bI −1 (b)Ende´duirequeAest inversible et exprimerAen fonction deAet deI. 2. (a) CalculerI+ 3B. 2 (b) ExprimerAen fonction deIet deB. 3. (a)Montrerparre´currencequ’ilexisteunesuite(u n ) n∈N telle que : n ∀n∈N, A=I+u n B (On montrera que∀n∈N, u n+1 =−2u n + 3) (b) Calculeru n en fonction den n (c)Ende´duireles9termesdelamatriceA .

Partie B −1 1.Enutilisantlame´thodedupivotdeGauss,montrerquePest inversible et calculerP. Onindiqueratouslesde´tailssurlacopie. −1 2. Calculerla matriceD=P AP. 3. n (a) CalculerDpour tout entier natureln. n n−1 (b)Ve´rifierparre´currenceque:∀n∈N, A=P DP. n (c) RetrouveralorsA.

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Exercice 2 Onconside`relafonctionf´rtuleed´efiniepourtoxpar :  −x f(x) =xesix>0 f(x) = 0six <0 1. ´ (a) Etudierles variations def. (b)D´eterminerlalimitedefen +∞eiehcnnfinirlseraabpr;ci´e (c) Dresserle tableau de variation defpiucsedesr´epervetitaenriurtsnobruocalef. 1 On prendra= 0,37 e 2. (a) Soitaonparparties,calcnualuetrenni´tgearitsipof;tiutenisilee´rrtsletcitnemunI(a) = a Z f(x)dx. 0 (b)De´terminerlalimitedeI(a) lorsqueatend vers +∞. 3. (a)V´erifierquefseltis´tdanetaioeriravenu’e´laelbabaroepededt´libiX. (b)Calculerl’esp´eranceE(X) deX.

Exercice 3 Unorganismedevoyagesfaitunee´tudesurlechoixdesvacances.CechoixportesurlaFranceetl’´etranger. 3 1 Aud´epart,chaqueclientchoisitlaFranceaveclaprobabilite´etl’e´trangeraveclaprobabilit´e. 4 4 3 i`eme Si lanarFa,ecnohcalisiitilde´eprlaabobFaarcnlehcioislruivantee’ann´ees.tse´,eanneitnellc 4 1 ie`me Si lan.tes´nee’lnanaetusviisirechoancelaFraacntiecllee,´enngnretearli´’ohsit´edbiliroba,lap 2 i`eme On noteF n mene´ve´lcel”tnel’cnleaientachoisilaFranteeanne´ρ n de´t´’lee´veemenaplbarolibitnF n . 1. Exprimerρen fonction deρ. n+1n 2.De´terminerl’expressiondeρen fonction denrlimte´determineρ. n n n→+∞

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