Mathématiques 2004 Classe Prepa ATS Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur)

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Concours du Supérieur Concours ATS (Adaptation Technicien Supérieur). Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2004

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 04 mars 2007
• Nombre de lectures: 63
• Langue: Français

Extrait

Math´ematiques Dure´e:3heures.-Coefficient:3 Lesexercicessontinde´pendants. La calculatrice personnelle est interdite. Exercice 1 Notations :M 3 (Csegien’l)s´ddesmatriensembledseemidecsec´rraleurrpcosien3sonC.a,b,csont des nombres complexes. On noteI,JetM(a, b, c) les matrices suivantes     1 0 00 1 0a b c     I = 01 0 J = 00 1 M(a, b, c) = c a b 0 0 11 0 0b c a 2iπ/3 24iπ/3 On notej=e.j=j=etseertuaenu´t.eu’innecuraciedelbiqu Partie I 2 3 I.1. CalculerJetJ. I.2.De´terminerlesvaleurspropresdeJ. La matriceJest-elle diagonalisable sur le corpsC? L’est-elle sur le corpsR? I.3. Pourchaque valeur propre deJeuctveleeaprrorpae´icossuop1tnayde´nireetmrrpremi`erecomposnaete,t une matricePdesspae`agneauesabeveduetcrpsr.spoer   2 3 I.4. Exprimerla matriceM(a, b, camsededia’la`)esictrI,JetJuqe´ddeiuerEn.H=M(a, b, c)|(a, b, c)∈C est un sous-espace vectoriel deM 3 (Cidemzealnsnoirne)exteecis.Pr´os(selleiolteemmleurpo)susuoisl deH. 2 I.5. Montrerque les vecteurs propres (complexes) deJsont aussi vecteurs propres deJainsi que deM(a, b, c). End´eduirelesvaleurspropresdeM(a, b, csdleededilece`)a’laJ, puis en fonction du nombre complexej. I.6.Montrerquetout´el´ementdeHest diagonalisable surC.Dneonndesopmoitidalroce´M(a, b, c) en fonction de la matricePdu I.3 et d’une matrice diagonale que l’on explicitera. I.7. Onsuppose ici que les coefficients (a, b, c.)sstronel´e a) Montrerque toutes les valeurs propres deM(a, b, csileeuntmes)el´etrontsiessleb=c. b)De´terminerlesvaleurspropresdeM(a, b, c) ainsi que lesslee´rserprospcepaess-ousicossa´es. Partie II   −→−→ −→ SoitEdidensmen3ioeb,dueledilcrneilee´otirvecepscauensaoetrohonmre´eB=i ,j , k. On noteId l’endomorphismeidentite´deEns’iie,oressnt´enacsD.aptrteetessmhirpmog´eotudene´ee`auneoddeseiruq´mte f a,b,c edstnere´ffidIdodicerelatntlamatrlabasaevimene`tBestM(a, b, c), en supposant que les coefficients (a, b, crtuo´vseadsnalrpemi`erepartie.´dnammocilitu’der´esrlsetstaules)oseelsntr´stre.Ile II.1. Montrerqu’il existe deux couples (a, b) tels quef a,b,b ait pour seules valeurs propres 1 et−1. Pr´eciserlessous-espacespropresassocie´s.Donnerlanatureg´eome´triquedef a,b,b dans les deux cas. II.2. Montrerqu’il existe deux couples (a, b) tels quef a,b,b ait pour seules valeurs propres 1 et 0. Pre´ciserlessous-espacespropresassoci´es.Donnerlanaturege´ome´triquedef a,b,b dans les deux cas. ` II.3.a)Aquellesconditionsne´cessairesetsuffisantesunematrice3×-t-ellelr´esentee´lerspecffieitnrseoca`3a matrice dans la baseBd’une rotation? 2 b) MontrerqueJetJsont des matrices de rotation deEelsdrseuglandeesatornoit.nusicoleerisecr´p, 2 2 2 c) Montrerquef a,b,c est une rotation vectorielle si et seulement sia+b+c= 1 eta+b+c= 1. En d´eduirequeab+bc+ca= 0. Pre´ciserl’axederotationainsiquelecosinusdesonanglederotationenfonctionde(a, b, c). Exercice 2 Dans ce qui suit, la fonctionfeatbdl´efienriievtd´esuresR. Onconsid`erelese´quationsdiffe´rentielles,defonctioninconnuefailbree´leelenlavarx 0 (E 1 )f(x) +xf(x) = 0

03 (E 2 )f(x) +xf(x) =x 1.Donnerlasolutionge´n´eralede(E 1 ) et l’unique solutionf 0 telle quef 0 (0) = 1.

2.Donnerlasolutiong´ene´ralede(E 2 ), et la fonctionf 1 solution de (E 2 ) et telle quef 1 (0) = 0. Z R 2 2 −x −x 2 2 Dans la suite de l’exercice, on poseF(x) =eet on noteI(R) =e dx. 0 Z ∞ 3. a)Montrer queA=F(t)dt= limI(R) existe. R→+∞ 0 Z Z 2 b) SoitJ(R) =F(x)F(y)dxdyavecC= [0, R]×[0, R] = [0, R] . C ExprimerJ(R) en fonction deI(R). Z Z   2 22 2 c) SoitK(R) =F(x)F(y)dxdyavecD= (x, y)∈R|06x,06y, x+y6R. D  √  Montrer que pour toutRpositif, on aK(R)6J(R)6K R2 . d) Calculerla valeur deK(Reneoc´nnsosogdarlroaiaapeepps)Calcres.limulerK(Re)ueeqirude´dnet R→+∞ r π A= . 2 Z +∞ 4.Onconside`relafonctiong(xcos () =xt)F(t)dt. −∞ a) Justifierl’existence deg(x). b)Enadmettantquel’onpeutde´riversousl’inte´grale,de´montrerquegest solution de (E 1 ). [On transformera 0 l’expressiontrouve´epourg(xegt´innepaontirala`)u’dedia’itseprra.] c)Ende´duirel’expressiondeg(x) en fonction deF(x). Z x 5.Donnerlede´veloppementens´erieenti`ere(etlerayondeconvergence)deG(x) =F(t)dt. 0 Exercice 3 P(z) = (z−a 1 )(z−a 2 )(z−a 3 edede´rgnyloemoˆes)nptumolpxeseracinesc3dontlesa 1 ,a 2 ,a 3 sont distinctes. On 0 −→−→ noteb 1 ,b 2 ˆnylemoseniopudlesracP(zv´rieed)´e,dP(z(e´mronohnaumellpaDsn.)eortp`erunrenid’O;vu ,), les pointsA 1 ,A 2 ,A 3 ,B 1 ,B 2 sont les points d’affixes respectivesa 1 ,a 2 ,a 3 ,b 1 ,b 2 . 0 P(z) 1.De´composeren´ele´mentssimpleslafractionrationnelle. P(z) 3 P 1 2.Ende´duireque=0.Quepeut-on´ecrirepourb 2 ? k=1 (b 1 −a k ) 3 P →− →−−− 3.End´eduirequeλ k A k B 1 = 0 pourdes coefficientsλ k epoiquelr,etciserpe´sla`´reentB 1 ueirudrt`es’ial´ent k=1 triangle (A 1 , A 2 , A 3 ) [On rappelle que le barycentre de trois points dont les coefficients sont strictement positifs estinte´rieurautriangled´efiniparcestroispoints].Quepeut-ondiredeB 2 ? 0 4. Calculerle coefficient dezdansP(z)`al’ediaeda 1 ,a 2 ,a 3 tpeo,ineqirleuendtedu´eG,cedegentr´tdearivu triangle (A 1 , A 2 , A 3 ) est le milieu du segment [B 1 , B 2 ]. 5.Onseproposeded´etermineruneconditionn´ecessaireetsuffisantepourquelespointsB 1 ,B 2 esi´ocssaelaignuart (A 1 , A 2 , A 3 ) soient confondus. a)Onsupposepourcommencerquelecentredugravite´Gdu triangle (A 1 , A 2 , A 3 euQ.enigno-tuepes)ri’oalt` 2 end´eduirepourlecoefficientdezdansP(zadeuecsnosacan)´e?DntmorqreB 1 =B 2 si et seulement si (A 1 , A 2 , A 3 neceertrclecircons)crsiet´dtqeiual´trelaedecO. b)Ende´duireunepropri´et´eanaloguedanslecasg´en´eral.    −−−→−−−→−−−→−−−→ 6. Onse propose de montrer que les angles de vecteursA 1 A 3 , A 1 B 1 etA 1 B 2 , A 1 A 2 xuag.ose´tn a) Montrerque 3(z−b 1 )(z−b 2 ) = (z−a 1 )(z−a 2 ) + (z−a 2 )(z−a 3 ) + (z−a 3 )(z−a 1 ) pour tout nombre complexez. b 1 −a 1 b) Montrerque 3(a 1 −b 1 )(a 1 −b 2 ) = (a 1 −a 2 )(a 1 −a 3 ), puis que les arguments des nombres complexes a 3 −a 1 a 2 −a 1 etsont´egaux(a`2πpesr`.) b 2 −a 1    −−−→−−−→−−−→−−−→ c)Ende´duirel’´egalite´desanglesA 1 A 3 , A 1 B 1 etA 1 B 2 , A 1 A 2 ´ethememlamˆrparstuerueaxdodeennoD. ´egalite´sangulaires. d) Sidans le triangle (A 1 , A 2 , A 3 ) le pointB 1 ctiong´eom´etriqodnnrenucenotsureu,nncostudeunioptB 2 .