Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (ECO) Concours ESC

Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2005

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 146
• Langue: Français

Extrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION ECONOMIQUE Année 2005

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.

Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

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EXERCICE 1 3 SoitB= (e 1 ; e 2 ; e 3 )la base canonique de lespace vectorielR. Onconsidère les matrices : 0 10 10 1 31 01 0 00 0 0 @ A@ A@ A A = 1 ; 6 1 I = 0 ; 1 0 O 0 0= 0 30 0 08 00 0 1 On note : 3 flendomorphisme deRdont la matrice relativement à la baseBestA. 3 Idlendomorphisme deRdont la matrice relativement à la baseBestI. 3 hlendomorphisme deRdéni par :h=f3 Id. Nla matrice de lendomorphismehrelativement à la base B. 0 1 01 0 @ A 2 3 1. (a)Vérier queN 3 1= 1 déduire. EnN6=O;N=O. 383 (b) Montrerque siest valeur propre deNalors= 0. Etablir alors que 0 est la seule valeur propre deh. (c) Endéduire quefadmet 3 pour unique valeur propre. (d) Déterminerune base et la dimension du sous-espace propre defassocié à la valeur propre 3. (e) Lendomorphismefest-il diagonalisable ?est il bijectif ? 3 2. (a)On considère les vecteurs deR: u 1 = (1;1;1) ;u 2 =h(u 1 ) ;u 3 =h(u 2 ): Calculeru 2 etu 3 que. Vérierh(u 3 ) = (0;0;0). 30 (b) Montrerque la famille(u 1 ; u 2 ; u 3 )est une base deR, quon noteraB: 0 0 (c) Déterminerla matriceNdehrelativement à la baseB: 0 0 (d) Montrerque la matrice defrelativement à la baseBest3I+N : 0 1 1 1 1 @ A On considère la matriceP= 11 0 . 1 21 0 1 3. (a)A laide des questions précédentes, montrer quePest inversible et queA=P(3I+N)P. (b) Soitnun entier naturel supérieur ou égal à deux. n0n1 b1. MontrerqueA=P(3I+N)P. 03 b2. Justierque(N) =O. 0n0 02 En déduire trois réelsa n ; b n ; c n tels que(3I+N) =a n I+b n N+c n (N). n2 b3. MontrerqueA=a n I+b n N+c n N.

EXERCICE 2 On considère la fonction de deux variablesfdénie sur louvertU=]0; +1[]0; +1[par : 2 f((x; y)) =xlnyylnx

2 1. Onnotegla fonction dénie sur]0; +1[parg(t) = 4t2tlnt1.

20 00 (a) MontrerquegestCsur son domaine et calculerg(t)etg(t)pourt >0. 0 (b) Etudierles variations degsur]0; +1[puis celle degsur]0; +1[. (On précisera à chaque fois les limites aux bornes)

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(c) Endéduire que léquationg(t) = 0admet une unique solution notée. 1 (d) Vérierque :ln= 2 2

2 2. (a)Montrer quefestCsurU. (b) Calculerles dérivées partielles dordre 1 def. 2 (x 0 ) (c) Endéduire que si(x 0 ; y 0 )est un point critique def, alorsx 0 >1ety 0 =. lnx 0 (d) Etabliralors queg(lnx 0 ) = 0.   2 e  En déduire quefpossède un unique point critique notéM, de coordonnéese ;oùest le réel  déni au 1.(c).

3. (a)Calculer les dérivées partielles dordre 2 def. y 0 2 (b) Enutilisant la relation de la question 1.(d) , montrer que2 lny 0 + =. 2 (x 0 ) En déduire que la fonctionfne présente pas dextremum. ( 36 h(t) =f(t; t)lorsquet2]0; 1] 4. Ondénit surRlapplicationhtelle que 5 h(t) = 0lorsquet60out >1

(a) Montrerquehest continue surR. 1 Z k (b) Soitkun entier naturel non nul etaun réel de]0; 1]. Calculertlnt dt. a 1 Z 1 k En déduire que lintégraletlnt dtexiste et vaut. 2 (k+ 1) 0 (c) Montrerque pour tout réeltde]0; 1],(t1) lnt>0. En déduire quehest positive surR. (d) Montrerquehest une densité de probabilité.

EXERCICE 3 Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher. On appelle " épreuve " la séquence suivante : On tire une boule de lurne, puis : Si la boule tirée est bleue , on la remet dans lurne.

boule tirée est rouge , on ne la remet pas dans lurne mais on remet une boule bleue dans lurne à saSi la place.

Lexpérience aléatoire consiste à e¤ectuer une succession illimitée dépreuves. Pour tout entier naturelnnon nul , on noteY n la variable aléatoire discrète égale au nombre de boules rouges présentes dans lurne à lissue de lan- ième épreuve. On notera pour chaque entier naturelknon nul les événements suivants : R k :" Lors de lak"-ième épreuve on a extrait une boule rouge de lurne. B k :" Lors de lak-ième épreuve on a extrait une boule bleue de lurne."

1. Donnerla loi de probabilité deY 1 .

2. Quellessont les valeurs possibles deY n dans le cas oùnest supérieur ou égal à 2 ?

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3. Calculerpour tout entier naturel non nuln,P(Y n = 2). 4. Onpose pour tout entier naturel non nuln,u n =P(Y n = 1). 2 (a) Rappelerla valeur deu 1 et montrer queu 2 =. 3 (b) Enutilisant un système complet dévénements lié à la variableY n , montrer que pour tout entier naturel n>2, 2 2 u n+1 =u n +: n+1 3 3 Cette relation reste-t-elle valable lorsquen= 1? 2 (c) Onpose pour tout entier naturelnnon nulv n =u n +. n 3 Montrer que la suite(v)  est géométrique. n n 2N En déduirev n en fonction denet dev 1 , 2 2 n Etablir enn que pour tout entier naturel non nuln,u n = 2( ). n 3 3 (d) Déduiredes résultats précédentsP(Y n = 0)pour tout entier naturel non nuln. 5. Calculerlespérance deY n . 6. OnnoteZla variable aléatoire égale au numéro de lépreuve amenant la dernière boule rouge.

(a) DonnerZ(). (b) Soitkun entier supérieur ou égal à 2. Exprimer lévénement(Z=k)en fonction des variablesY k etY k1 . (c) Endéduire la loi deZ.

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