Mathématiques 2009 Concours FESIC

Denis Derain

Description

Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Mathématiques 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2009 sur Bankexam.fr.

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 mai 2011
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• Langue: Français

Extrait

CPE Lyon – EI Purpan – EPMI – ESA – ESCOM – ESEO – ISA – ISARA-Lyon – ISEN Brest – ISEN Lille – ISEN Toulon – ISEP – LASALLE Beauvais – LOUIS DE BROGLIE

SELECTION FESIC

ADMISSION en 1ère ANNEE du 1er CYCLE 2009 

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

 

Samedi 16 mai 2009 de 14h. à 16h.30   INSTRUCTIONS AUX CANDIDATS  L'usage de la calculatrice estinterditainsi que tout document ou formulaire.  L'épreuve comporte 16 exercices indépendants. Vous ne devez en traiter que 12 maximum. Si vous en traitez davantage,seuls les 12 premiersseront corrigés.  Un exercice comporte 4 affirmations repérées par les lettres a, b, c, d. Vous devez indiquer pour chacune d'elles si elle est vraie (V) ou fausse (F).  Un exercice est considéré comme traité dès qu'une réponse à une des 4 affirmations est donnée (l'abstention et l'annulation ne sont pas considérées comme réponse).  Toute réponse exacte rapporte un point.  Toute réponse inexacte entraîne le retrait d'un point.  L'annulation d'une réponse ou l'abstention n'est pas prise en compte, c'est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point.  Une bonification d'un point est ajoutée chaque fois qu'un exercice est traité correctement en entier (c'est-à-dire lorsque les réponses aux 4 affirmations sont exactes).  L'attention des candidats est attirée sur le fait que, dans le type d'exercices proposés, une lecture attentive des énoncés est absolument nécessaire, le vocabulaire employé et les questions posées étant très précis.   INSTRUCTIONS POUR REMPLIR LA FEUILLE DE REPONSES  Les épreuves de la Sélection FESIC sont des questionnaires à correction automatisée. Votre feuille sera corrigée automatiquement par une machine à lecture optique. Vous devez suivre scrupuleusement les instructions suivantes :  Pour remplir la feuille de réponses, vous devez utiliser un stylo bille ou une pointe feutre de couleur noire ou bleue. Ne jamais raturer, ni gommer,ni utiliser un effaceur. Ne pas plier ou froisser la feuille.



1.Collez létiquette code-barres qui vous sera fournie (le code doit être dans laxe vertical indiqué). Cette étiquette, outre le code-barres, porte vos nom, prénom, numéro de table et matière. Vérifiez bien ces informations.  Exemple:

  2.Noircissez les cases correspondant à vos réponses :  

Faire  Ne pas faire    Pour modifier une réponse, il ne faut ni raturer, ni gommer, ni utiliser un effaceur. Annuler la réponse par un double marquage (cocher F et V) puis reporter la nouvelle réponse éventuelle dans la zone tramée (zone de droite). La réponse figurant dans la zone tramée n'est prise en compte que si la première réponse est annulée. Les réponses possibles sont :  VF V F vrai  faux  abstention  abstention  vrai  faux  abstention   Attention :vous ne disposez que d'une seule feuille de réponses. En cas d'erreur, vous devez annuler votre réponse comme indiqué ci-dessus. Toutefois, en cas de force majeure, une seconde feuille pourra vous être fournie par le surveillant.  

Sélection FESIC 2009     Exercice n°1 

On considère la fonctionf définie par

Epreuve de Mathématiques.

. On appelleDde définition de l'ensemble f,

D' l'ensemble de définition de sa dérivéef' etCsa courbe représentative dans un repère du plan.  a)Pour tout x∈D,on a f(x) = ln(3x+ 2) – lnx– ln 5.

b)

c)

Pour tout x∈D',on a

D' =R–

.

.

d)On a f(x) = 0si et seulement si x= 1.   Exercice n°2  2x–1 Soientn∈N*, P un polynôme de degrénetfla fonction définie surRparf(x) = P(x)×e.  2x–1 a)Il existe un polynômeQde même degré queP (degré n)tel que quel que soit x∈R,f'(x) = Q(x)×e. b)Quels que soient le polynômePet son degré, . 2x–1 c)L'inéquation e≥–3n'a pas de solution. 2 d)On suppose ici que P est le polynôme défini par P(x) =x+ 1. On suppose que a, b et c sont trois réels tels que la fonction Fdéfinie surRpar:

2 2x–1 F(x) = (ax+bx+c)esoit une primitive de f. Alors on a le système

  Exercice n°3  On considère les fonctionsfetgdéfinies surRrespectivement par:

f(x) =

,

et

.

x g(x) =e(1 –x) + 1.

On admet que l'équationg(x) = 0 possède une et une seule solution dansRet on appelleαcette solution. On appelleCla courbe représentantfdans un repère du plan.  a)La droite d'équation y=x+ 2est asymptote àC. – + b)g est décroissante surRet croissante surR. c)Quel que soit x∈R,f'(x)est du signe opposé à g(x). d)On a f(α) =α+ 1. 

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 page  1 

Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2009   Exercice n°4  On considère le graphique ci-dessous réalisé dans un repère orthonormal. Cest la représentation d'une fonctionfetΓest celle de la fonction ln (logarithme népérien). On sait queCest l'image deΓ, avec A(1, 0) et B(–2, ln 2).par la translation de vecteur

 a)fest la fonction définie parf(x) = ln(2x+ 6). b)La distance entre deux points Met Nappartenant respectivement àΓet àCet situés à la même ordonnée est constante. c)La tangente àΓenAest parallèle à la tangente àCenB. d)La droite(CD)est parallèle à la droite(AB).   Exercice n°5  a)Quel que soit x 0 ∈]1, +∞[,on a(ln(ln(x)))'(x 0 .) =

b)

c)

d)



2x x L'ensemble des solutions de l'inéquation e– 3e– 4≥0est[ln 4, +∞[

On considère la fonctionfdéfinie surRpar:f(x) =

six≠0 etf(0) = 0.

f est continue en0. + On considère la fonctiongdéfinie surRpar:g(t) =tlntpourt> 0 etg(0) = 0. La courbe représentant g dans un repère du plan possède une demi-tangente au point d'abscisse0.

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Sélection FESIC 2009   Exercice n°6 a)On considère la suiteu, définie par:u 0 = 3 et, pour toutn∈N,u n+1 =

b)

c)

d)

Epreuve de Mathématiques.

.

On veut montrer que quel que soitn∈N, on au n 1. On tient pour cela le raisonnement par > récurrence suivant: Soit P(n) l'inéquation "u n > 1". Initialisation: casn= 0. u 0 = 3 > 1. Donc P(0) est vraie. Hérédité: Soitp∈N. Supposons que P(p) soit vraie. Montrons que P(p+ 1) est vraie. On au p > 1 d'après l'hypothèse de récurrence. Donc 4u p – 2 > 4×1 – 2, soit 4u p – 2 > 2. De même

u p + 1 > 1 + 1, doncu p + 1 > 2. On en déduit

>

et doncu p+1 > 1.

Donc P(p+ 1) est vraie. Conclusion: De ces deux assertions et d'après le théorème de raisonnement par récurrence, on déduit que quel que soitn∈N, P(n) est vraie.» Ce raisonnement est exact. On considère les fonctionsfetgdéfinies respectivement par:

x∈

etf(x) = ln(2x+ 3),

et

x∈Retg(x) =



On appelleC f etC g les courbes représentant respectivementfetgdans un repère orthonormal du plan et on appelleΔla droite d'équationy=x. On veut montrer queC f  etC g symétriques par rapport à sont Δ. On tient pour cela le raisonnement suivant:

Soientx∈

,y∈R, M le point deC f coordonnées ( de x,y) et N le point de coordonnées

(y,x). Par définition,Δest médiatrice de [MN]. Or M∈C f , doncy=f(x) = ln(2x+ 3). On en déduit

y 2x+ 3 =e et doncx=

. Il s'ensuit que le point N appartient àC g . Ceci étant vrai pour tout

point M ainsi défini, c'est queC f etC g sont symétriques par rapport àΔ.» Ce raisonnement est exact.

On considère la suiteudéfinie par:u 0 = 3 et, pour toutn∈N,u n+1 =

.

On veut montrer queuest croissante. On tient pour cela le raisonnement suivant: Un raisonnement par récurrence prouve que quel que soitn∈N, on au n > 0. Or la fonctionfdéfinie

parf(x) =

+ est croissante surR* et quel que soitn∈N, on au n+1 =f(u n ). On en déduit queu

est croissante.» Ce raisonnement est exact. 4 3 2 On considère le polynôme P défini par P(x) =x– 6x+ 13x– 12x+ 4. 2 On veut montrer que P(x) est factorisable par (x. On tient pour cela le raisonnement suivant:– 1) On a P(1) = 0. Il existe donc un polynôme Q 1 tel que, pour toutx, P(x) = (x– 1)Q 1 (x). 3 2 Pour toutxP'(, on a: x) = 4x– 18x+ 26x– 12. Mais aussi: P'(x) = Q 1 (x) + (x– 1)Q' 1 (x). Or P'(1) = 0. On a donc Q 1 (1) = 0. Il existe donc un polynôme Q 2  tel que pour toutx, 2 Q 1 (x) = (x- 1)Q 2 (x), soit aussi P(x) = (x- 1) Q 2 (x).» Ce raisonnement est exact.

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Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2009    Exercice n°7  Dans le plan complexe de centre O, on considère les points A, B et C d'affixes respectives:

a=

,

b=

,

c=

 a)OABCest un trapèze. b)(OC)et(BC)sont perpendiculaires. c)Le barycentreGdu système{(A, 2), (B, –1), (C, 3)}a pour affixe2a–b+ 3c. d)OABCpossède deux côtés de même longueur.   Exercice n°8  4 2 On considère dansCl'équation [E]:z+ 2z+ 4 = 0. Un nombre complexezle complexe conjugué deétant donné, on note z.  a)[E]possède au plus 4 solutions. b)Si z 0 est une solution de[E],alors–z 0 ,etsont d'autres solutions. c)Les solutions de[E]ont toutes le même module. d)Les solutions de[E]ont toutes le même argument (à2πprès).   Exercice n°9  Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal .

On considère le point A d'affixea= 1 –

vecteur 

a)

b) c)

d)

.

Le pointAa les coordonnées polaires

, la rotationrde centre A et d'angle

.

L'image deOpar r est le pointBde coordonnées cartésiennes Le point image deOpar rot est le pointA.

SiCest le point d'affixe c, alors le point d'affixe

d'angle

.

.

.

et la translationtde

est l'image deCpar la rotation de centreOet

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Sélection FESIC 2009      Exercice n°10 

On considère la fonctionϕdéfinie par:ϕ(t) =

.

Soient deux réelsaetbet la fonctionfdéfinie parf(x) =

En particulier, on af(0) =

.

Epreuve de Mathématiques.

. On appelleDl'ensemble de définition def.

 a)Si a= 1,alors f est définie quel que soit b. b)Si b= 1,alors f est définie quel que soit a. c)Si a2 = et b1, = alors f (0)représente l'aire (en unités d'aire) de la surface comprise entre les droites d'équation y= 0,x= 2,x= 1et la courbe représentant la fonctionϕ. d)Dans cette question, on suppose0 <a<b. f est solution de l'équation différentielle y' +y= 0.     Exercice n°11 

On considère les intégrales I = et J =  2 2 a)Quel que soit le réel t,cost– sint= sin(2t).

b)

c) d) 

I – J =

.

.

I + J =π. L'aire représentée parIest la même que celle représentée parJ.

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Epreuve de Mathématiques. Sélection FESIC 2009    Exercice n°12  ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et BC = 8. On définit la suite des points (H n ) ainsi: H 0 = B et H n+1 est le projeté orthogonal de H n sur (AC) sinest pair et sur (BC) sinest impair. On définit les suites (l n ) et (L n ) par:l n = H n H n+1 etL n =l 0 +l 1 +  +l n .

 a)l 1 = H 1 H 2 = 2. b)Quel que soit n∈N,le triangleH n H n+1 H n+2 est un demi-triangle équilatéral. c)La suite(l n )est géométrique. d)Quand n tend vers+∞,L n tend vers un nombre fini inférieur à30.   Exercice n°13  Sifest une fonction indéfiniment dérivable surR, on définit les dérivées successives def: (0) f =f(lire: la dérivée d'ordre 0 defest égale àf); (1) ère f =fde' (dérivée 1 f); (2) f =f" (dérivée seconde def, c'est-à-dire la dérivée def'); (n+1) (n) pourn∈N,f = [f ]' (la dérivée (n+1)-ième defest la dérivée de la dérivéen-ième). x On considère la fonctionϕdéfinie surRparϕ(x) =xe. (n) On considère la suite (u n ) définie pourx∈Rpar:u n (x) =ϕ(x) (dérivéen-ième deϕcalculée enx). Pour n∈N, on appelleC n la courbe représentant la fonctionu n dans un repère du plan.  x a)Quel que soit n∈Net quel que soit x∈R,on a u n (x) = (x+n)e. b)Dans cette question,xest un réel fixé. La suite(u n )est une suite arithmétique. c)Dans cette question,nest un entier naturel fixé. La fonction u n est décroissante sur]–∞, –n]et croissante sur[–n, +∞[. d)Dans cette question,nest un entier naturel fixé. La courbeC n est au-dessus de la courbeC n+1 . 

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Sélection FESIC 2009      Exercice n°14 

a)

b)

c)

d)

vaut 1 milliard.

Epreuve de Mathématiques.

Pour un département donné, on peut faire plus de plaques minéralogiques de véhicules composées de 4 chiffres et 2 lettres que de plaques composées de 3 chiffres et 3 lettres. (On supposera que tous les chiffres et toutes les lettres de l'alphabet sont utilisables). Un dé est pipé de sorte que la probabilité d'apparition de chaque face est proportionnelle au numéro de cette face.

La probabilité d'apparition du3est

.

Un parking dispose de 10 places libres. Il y a

possibilités de ranger 3 voitures dans ce parking.

    Exercice n°15  ème Un dé cubique équilibré possède 4 faces noires et 2 faces blanches. Un 2 dé équilibré ayant la forme d'un tétraèdre régulier possède 3 faces blanches et 1 face noire. On choisit un dé au hasard et on le lance.  a)La probabilité que la face cachée soit noire est0,5.

b)

La probabilité que le dé choisi soit cubique sachant que la face cachée est blanche est

  Une variable aléatoireX(en minutes) suit une loi de répartition uniforme sur [10, 30].  c)L'espérance associée à X est10mn.

d)



La probabilité d'avoir X≤25sachant que l'on a X≥15est

.

.

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Sélection FESIC 2009    Exercice n°16  L'espace est rapporté au repère orthonormal 

a)

b)

c)

d)

 

.

Epreuve de Mathématiques.

L'ensemble des pointsM(x,y,z)pour lesquels il existe k∈[–1, 1]vérifiant le système

le segment[AB],où on aA(1, 2, –1)etB(5, 0, 5). Le plan d'équation2x– 3y+z+ 1 = 0possède le vecteur

La droite d'équation paramétrique

(–2, 3, –1)pour vecteur normal.

est

,avec k∈R,est perpendiculaire au plan d'équation

cartésienne2x–y+ 3z– 1 = 0. ⎧ x=3 ⎪ L'ensemble des pointsM(x,y,z)vérifiant le système ⎨ y=2 est une droite. ⎪ z∈ ⎩ 

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