Mathématiques 2009 ENAC

Description

Examen du Supérieur ENAC. Sujet de Mathématiques 2009. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2009 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 21 avril 2010
• Nombre de lectures: 73
• Langue: Français

Extrait

´ ECOLE NATIONALE DE L’AVIATION CIVILE ANNEE 2009

CONCOURS DE RECRUTEMENT D’ELEVES PILOTES DE LIGNE

EPREUVE DE MATHEMATIQUES

Duree : 2 Heures ´ Coefficient : 1

Ce sujet comporte : • 1 page de garde, • 2 pages (recto-verso) d’instructions pour remplir le QCM, • 15pagesdetexte,nume´rote´esde1a`15.

CALCULATRICE AUTORISEE

ECOLE NATIONALE DE L’AVIATION CIVILE

EPL/S 2009

´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ` A LIRE TRES ATTENTIVEMENT L’´epreuvedemathe´matiquesdececoncoursestunquestionnairea`choixmultiplequiseracorrige ´ automatiquementparunemachine`alectureoptique.

´ ´ ATTENTION, IL NE VOUS EST DELIVRE QU’UN SEUL QCM

1)Vousdevezcollerdanslapartiedroitepre´vuea`ceteffet,l’ e´tiquettecorrespondanta`l’e´preuve que vous passez ,c’est-a`-dire´epreuvedemathe´matiques(voirmode`leci-dessous).

´ POSITIONNEMENT DES ETIQUETTES

Pourpermettrelalectureoptiquedel’e´tiquette,letraitverticalmat´erialisantl’axedelectureducode abarres(enhauta`droitedevotreQCM)doittraverserlatotalit´edesbarresdececode. ` EXEMPLES : BON

MAUVAIS ✁ ✁ ✁ ✁ ❆ ❆ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ❆ ✁ ✁ ❆ ❆ ❆

MAUVAIS ✁ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ❆ ❆ ❆✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ✁ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆

2) Pour remplir ce QCM, vous devez utiliser un STYLO BILLE ou une POINTE FEUTRE de couleur NOIRE. 3)Utilisezlesujetcommebrouillonetneretranscrivezvosr´eponsesqu’a`ˆetlusoigneu-pres vous re re sement. 4)VotreQCMnedoitpasˆetresouill´e,froiss´e,pli´e,e´corne´ouporterdesinscriptionssuperflues,sous peined’eˆtrerejete´parlamachineetdenepasˆetrecorrig´e.

5)Cettee´preuvecomporte36questions,certaines,denum´eroscons´ecutifs,sontli´ees.Lalistedes questionsli´eesestdonn´eeavantl’enonce´dusujetlui-mˆeme. ´ Chaquequestioncomporteauplusdeuxr´eponsesexactes. 6)Achaquequestionnum´erote´eentre1et36,correspondsurlafeuille-re´ponsesunelignedecases quiportelemeˆmenume´ro.Chaquelignecomporte5casesa,b,c,d,e. Pourchaquelignenume´rote´ede01`a36,vousvoustrouvezenfacede4possibilite´s: ◮ soitvousde´cidezdenepastraitercettequestion, la ligne correspondante doit rester vierge. ◮ soitvousjugezquelaquestioncomporteuneseulebonner´eponse vous devez noircir l’une des cases a, b, c, d. ◮ soitvousjugezquelaquestioncomportedeuxr´eponsesexactes, vous devez noircir deux des cases a, b, c, d et deux seulement. ◮ soitvousjugezqu’aucund´sespropose´esa,b,c,dn’estbonne, e es repon vous devez alors noircir la case e. Encasder´eponsefausse,aucunepe´nalit´eneseraapplique. ´ 7) EXEMPLES DE REPONSES Question 1 : 1 2 + 2 2 vaut : A) 3 B) 5 C) 4 D) -1 Question 2 : le produit ( − 1)( − 3) vaut : A) -3 B) -1 C) 4 D) 0 Question3:Uneracinedel’e´quation x 2 − 1 = 0 est : A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 Vous marquerez sur la feuille reponse : ´

1

2

3

a

a

a

b

b

b

c

c

c

d

d

d

e

e

e

Concours EPL Epreuvedemathe´matiques

Exercice 1 : On note R l’ensembledesre´els a ∈ R . Soit E l’ensemble des fonctions continues sur R . Onconside`realorsl’application ϕ a de´finiepar: ∀ f ∈ E ∀ x ∈ R  x 6 = a ϕ a ( f )( x ) = x 1 − a Z a x f ( t ) dt . Question 1 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :

a) Si ◦ note la composition de deux applications, ( E ◦ ) est un groupe. b) Si + note la somme de deux applications, ( E +)estungroupecommutatifd’´el´ement neutre Id E : x 7→ x . c) Si  note la multiplication d’une application par un scalaire, ( E +   ) est un R espace vectoriel de dimension infinie. d) Si × note la multiplication de deux applications, ( E +  × ) est un corps.

Question 2 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :

a) f admet une primitive, car pour toute fonction g de´finiesur R , x 7→ Z a x g ( t ) dt en est une primitive. b) ϕ a est prolongeable par continuite en a . ´ c) Pour tout f de E , ϕ a ( f )estprolongeableparcontinuite´en a en posant ϕ a ( f )( a ) = f ( a ). d) Pour tout f de E , ϕ a ( f )estprolongeableparcontinuit´een a en posant ϕ a ( f )( a ) = f ′ ( a ). Nota Bene : Danstoutelasuite,sil’onaprolong´eunefonction ψ parcontinuite´en a , on continuera a appeler ψ cette prolongee. ` ´

Question 3 : Onpeutaffirmerd`eslorsque:

a) ϕ a d´efinitunendomorphismede E , puisque ∀ ( f g ) ∈ E 2  ϕ a ( f g ) = ϕ a ( f ) ϕ a ( g ). b) ∀ ( f g ) ∈ E 2  ϕ a ( f + g ) = ϕ a ( f ) + ϕ a ( g ) et donc ϕ a est linaire. c) ϕ a ( E ) = E puisque ϕ a ( f ) est continue sur R . d) E ⊂ ϕ a ( E ) puisque ϕ a ( f ) est continue sur R .

1

Question 4 : Sion´etudielad´erivabilit´ede ϕ a ( f ) sur R , on peut affirmer que :

a) Si x 6 = a , ∀ f ∈ E , ϕ a ( f )estd´erivableen x etsad´erive´evaut f ( x ) − x − ϕ a a ( f )( x ) . b) Si x 6 = a , ∀ f ∈ E , ϕ a ( f )estde´rivableen x etsade´rive´evaut f ( x ) − f ( x a ) − − a ϕ a ( f )( x ) . c) Si g estlafonctiond´efiniepar ∀ x ∈ R  g ( x ) = | x − a | alors ϕ a ( g ) = g . 2 d) ∀ f ∈ E , ϕ a ( f )estd´erivableen a .

Question 5 : Si f est de classe C 1 sur R ,laformuledeTaylorYoungvanouspermettred’´ecrireque

a) f ( x ) = f ( a ) − f ′ ( a )( a − x ) + o ( x − a ). b) f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a )( x − a ) + o (( x − a ) 2 ). c) Si x 6 = a , x − 1 a [ ϕ a ( f )( x ) − f ( a )] = f ′ 2 ( a ) + o (1). d) Si x 6 = a , x − 1 a [ ϕ a ( f )( x ) − f ( a )] = f ′ 2 ( a ) + o ( x − a ).

Question 6 : Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies :

a)Unth´eor`emeducourspermetd’affirmerquesi h estunefonctionde´finiesur R , d´erivableentoutpointde R saufpeut-ˆetreenunpointr´eel a , et si de plus lim h ′ ( x ) existe et est fini alors h estd´erivableen a . x → a b) Si f est de classe C 1 sur R , alors comme ϕ a ( f ) est continue sur R ,d´erivableen toutpointdiffe´rentde a , et que lim [ ϕ a ( f )] ′ ( x ) = f ′ ( a ) ϕ a ( f )estd´erivablesur R . x → a 2 , c)Mˆemesi f est de classe C 1 sur R ,onnepeutpaseˆtrecertainque ϕ a ( f ) est de classe C 1 sur R . d) Si f est de classe C 1 sur R , il est certain que ϕ a ( f ) est de classe C 1 sur R .

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Question 7 : On che he ` voir si ϕ a est injective ou surjective. On peut dire que : rc a sa

a) Ker ϕ a =  f ∈ E ∀ x ∈ R  Z a x f ( t ) dt = 0  . b) Ker ϕ a = { f ∈ E ∀ x ∈ R  f ( x ) = f ( a ) } . c) ϕ a est injective car Ker ϕ a = { 0 E } . d) ϕ a estsurjectiveparcequepourunendomorphismed’espacevectoriel,l’injectivit´e est´equivalentea`lasurjectivit´e.

Question 8 : Soit b unre´el.Onconsid`ere g b :  x 7 R →| → x R b | .Onveutr´esoudrel’´equationd’inconnue f : − ϕ a ( f ) = g b .

a) S’il existe une solution alors elle est unique. De plus, si a = b alorsd’apre`sla question 4, f = 2 g a . b) S’il existe une solution f alors elle n’est pas unique puisque toutes les fonctions de la forme f + f 0 o`u f 0 ∈ Ker ϕ a sont encore solutions. c) Si a 6 = b , il existe une solution puisque ϕ a est surjective. d) Si a 6 = b , il ne peut exister de solution puisque g b n’estpasd´erivableen b .

Question 9 : Soit n un entier naturel. On appelle F = R n [ X ]l’espacevectorieldespolynˆomesdedegre´s infe´rieursou´egaux`a n . On munit F de sa base canonique B = (1  X X 2      X n ). On appelle ψ a la restriction de ϕ a a` F ,c’est-a`-direl’applicationtelleque ∀ P ∈ F ψ a ( P ) = ϕ a ( P ).

a) ψ a est un endomorphisme de F car ∀ i ∈ J 0  n K , ψ a ( X i ) = i + 1 1 k X i 0 a k X i +1 − k . = b) Ker ψ a ⊂ { 0 F } et ψ a est injectif. c) ψ a est surjectif puisque ψ a est injectif et dim F = n . d) ψ a nepeutpasˆetresurjectifpuisque ϕ a ne l’est pas.

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