Mathématiques I 2002 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

Description

Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques I 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

ESCP-EAP 2002, math 1, option scientifique. Danstoutleproble`me,nnentgneuup´eiersor´uiruea`.2geladise´ ∞ Onconsid`ereunefonctionre´ellefde classeCsur [−1,1], et on noteI(f:ela)ltni’rge´ Z 1 f(x) dx. −1 Pour tout entier naturelknon nul , on pose : (k) ( k) M k (f) =sup  f(x)  uo`,fee´vro’derd´edgnsiadelri´ekdef. x∈[−1,1] Lespolynˆomesconsid´ere´ssont`acoefficientsr´eels,etonconfondpolynˆomeetfonctionpolynomiale associ´ee. Pour tout entier naturelm, on noteR m [X] leRreuri´efnie´rgededsemoˆdespolynectoriele-pscave oue´gal`am. On rappelle que sir 1 , r 2 , . . . , r p ˆoynolnpmerascointdes´eelnesrsiiteldsdsu’cnetP, avec des p Y k i multiplicite´srespectivesk 1 , k 2 , . . . , k p isexuntelypoomnˆea,olsrliQtel queP=Q(X−r i ) . i=1 Enfin,a 1 , a 2 , . . . , a n esigd´tnenn`xuedslee´rdetsnctiisxdeuad[−1,1], et on noteA n ˆome:lepolyn n Y A n = (X−a i ) i=1 L’objetdeceprobl`emeestl’approximationdeI(flonynopsel.smoaiales´egrnctidefop)tnisedra Pr´eliminaire ´ 1)nonElrec´hte`roeemedeRolle. n 2)Soitgune fonction de classeCsur [−1,1], s’annulant enn+ 1points distincts de [−1,1]. a)ntreMoeviredee´euqr´dalgs’annule en au moinsnpoints distincts de ]−1,1[. (n) b)ilexistMeontrerqu’nu´reelcde ]−1,1[ tel queg(c) = 0. Partie I Danscettepartie,onvaproposercommevaleurapproche´edeI(f)alraelboetunege´tni’ledruelav enrempla¸cantlafonctionffne´´rieor´uirue`aegalpalracnofnoitlypominoedalegedn−1, introduite ci-dessous, qui co¨ıncide avecfsur chacun des pointsa i . Y Pour tout entieride{1,2, . . . , n}, on noteL i elopyle:omnˆL i = (X−a k ). k∈{1,...,n} k6=i Par exemple, sin= 3,a 1 =−1,a 2 = 0, eta 3 = 1, alors :L 1 =X(X−1),L 2 = (X−1)(X+ 1), L 3 =X(X+ 1). 1)a)eitnesuosr´erifierque,pourtVietjde{1,2, . . . , n}eelr´le,L i (a j ) est nul lorsqueiest diff´erentdej, et est non nul lorsquei´tgese`aalj. b)Montrer qu’il existe ununiqueome,quelpolynˆo’nntoeP f urie´eouin´eerf´,ededrg`laga n−1, tel que, pour tout entierjde{1,2, . . . , n}ilage´’l,onae´tP f (a j ) =f(a j ), et que ce polynoˆmeestdonn´eparlaformule: n X f(a i ) P=L i L i (a i ) i=1 Z 1 1 2)Pour tout entieride{1,2, . . . , n}, on pose :δ i =L i (x) dx. L(a) i i −1 Z n 1 X Montrer que :P f (x) dx=δ i f(a i ). −1 i=1 Z n 1 X Dans toute la suite, on note :J n (f) =P f (x) dx=δ i f(a i ). −1 i=1

3)Que peut-on dire deI(f) etJ n (f) lorsquefri´ereulaimdede´rgefnienefonctionpolynoseut oue´gal`an−1 ? 4)Soitxeln´u[ede´xfitneme´−1,echanctdisti1],deeslse´rucdna i . a)’erlstxiusJfietiee´rlecnenu’dλ’´egaliterifiantl´ve´:f(x)−P f (x)−λA n (x) = 0. On note maintenantg λ nouqacituort`ita´eellipp’altde [−1,1] associe : g λ (t) =f(t)−P f (t)−λA n (t) b)Calculerg λ (ai) pour chaque entieride{1,2, . . . , n}. (n) c)e´rnleMnotrerqu’ilexisteucde ]−1,1[ tel queg(ce´atupsi’le´lbrit´e:gali0,)= λ (n) f(c) λ= n! M n (f) 5)dnEqeriude´rtou,pueel´etrouxde [−1,1],|f(x)−P f (x)|6|A n (x)|. n! puis´etablirl’ine´galite´: Z 1 M n (f) |I(f)−J n (f)|6|A n (x)|dx n! −1 ´ 6)Etude d’un cas particulier Dans cette question, on suppose quea 1 =−1,a n = 1 et quea 1 , a 2 , . . . , a n sontr´epartis 2(i−1) re´gulie`rement,c’est-`a-direque,pourtoutentieride{1,2, . . . , n}, on a :a i =−1 +. n−1 a)Soitkun entier tel que 16k6n−1 et soitx´reedl[enua k , a k+1 :e´tilage´ni’lrfietius.J]  n  2 |A n (x)|6k!(n−k)! n−1   n 2 b),deeoipuneEr´udqtu´rruoteelxde [−1,1], on a :|A n (x)|6(n−1)!. n−1 c) On admetque, quand l’entier naturelpte:tendveri’lsinfinano,e´’livquenalsuceaniv   p p p p!∼2πp. e Montrer que, si l’entiernr´eelgrezsstaestuotruop,ano,dnaxde [−1,1], la majoration :   n 2 |A n (x)|6 e Partie II Danscettepartie,onvaproposercommevaleurapproch´eedeI(f)int´del’leobegrauneteelrualav enremplac¸antlafonctionfa`lage´uourieerf´in´egrdearpionpolynomialedenucereatnifenotc 2n−1uq,dnetaoixomiappreunealisir´efplus fine que la fonction polynomiale de la partie pre´c´edente. 0 PourtoutpolynˆomeQ, on noteQlpeedd´eriv´eolynˆomeQ. 2n 1)snoce`dinOaticniol’replapTdeR 2n−1 [X] dansRpar:finied´e   0 00 ∀Q∈R 2n−1 [X], T(Q) =Q(a 1 ), Q(a 2 ), . . . , Q(a n ), Q(a 1 ), Q(a 2 ), . . . , Q(a n ) 2n a)Montrer queTdeaireesnetulppatacilnoie´niR 2n−1 [X] dansR. b)Montrer queTest injective (lepparnolreneu´’uqelaest racine au moins double d’un 0 polynoˆmeQsi et seulement siQ(a) =Q(aequeriude´dnE.)0=)Test bijective. c)dentec´enpr´stioqaeueslritilUolynˆome,not´eixeluetsinunpeuqoueponrmertr’iquQ f , de degr´einfe´rieuroue´gal`a2n−1, tel que, pour tout entierjde{1,2, . . . , n}: 0 0 ) etQ(a) Q f (a j ) =f(a j fj ) =f(a j (on ne demande pas d’expliciterQ f ) 2