Mathématiques I 2003 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

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Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 47
• Langue: Français

Extrait

ESCP-EAP 2003. math 1, option S

Danstoutleprobl`eme,onconsid`ereunentiernaturelpup´esor´uiruea`.2gelauttourPoertien naturelq, on noteR q [X] (resp.C q [Xl]e’atorielr´spacevecmoc.xelp(leepserˆoyns`medee)olsp coefficientsre´els(resp.complexes)dedegre´auplus´egal`aqteemrnfaucrodprooOnnol.epˆoyn fonctionpolynomialeassoci´ee. On noteS R (resp.S C .elpm)sexlee´rleioc.pser(paesl’)orctvecellse´ree.pocr(sexe)dmpleitesessu Pr´eliminaire p p−1 Onconsid`erelafonctionr´eellefatoutr´equi`lexpositif ou nul associef(x) =x−x−1. 1)a)Donner le tableau de variation de la fonctionf. b)taulesr´anivsuts:stdne´Eleseudri •la fonctionfes’annuleuneseulefioesunrne´leon´tCqustieristemctstnee´puueir1a`r. •eeltu´rruotopxlee´,lerunultifoposif(x) est strictement positif si et seulement sixest strictementsup´erieura`C. 3 2)Dlsnaulicroieasecrtpatienl’`uerpc,4a`lagrerapmo´esteCet . 2 Partie I On rappelle que siaest un nombre complexe etQ(Xelexasolsr`acoefficientscomppnu)nyloemoˆ lepolynoˆmeQ(X) est divisible parX−asi et seulement si le complexeQ(a) est nul. 1)Soitaun nombre complexe,nenunertigal`a2etmuiosne´anuteralP(Xa)unpolynˆome` n X k coefficientscomplexesdedegr´enriecntva’´sP(X) =α k X. k=0 n k−1   X X k−i−1i ´ a)egalrl’´abliEt:tie´P(X)−P(a) = (X−a)Q(Xuo`)Q(X) =α k a X. k=1 i=0 2 b)emoEdne´duirequelepolynˆP(X)−P(a) est divisible par (X−a) siet seulement si le n X k−1 nombre complexekα k aest nul. k=1 ` c)Aqonecllueletnmonesteeasffiuesecirsatidin´onexebrecomplaest-il racine au moins double dupolynˆomeP(X) ? p p−1 2)uqrertnoMˆomeolynelepX−X−1 apracines simples dansCet qu’elles sont toutes nonnulles.Cesracinesserontnot´eesZ 1 , Z 2 , . . . , Z p avec la convention queZ p gelase´ta`C. ´ 3)a)Etablir, pour tout couple (x, y:´eitalegn´’ideno)sel,lpxecsmobmer|x| − |y|6|x−y|. Quand a-t-onl’´egalit´e? ´ b)Etablir, pour tout entierktel que 16k6p:eil´tni’lage´,|Z k |6C. c)Montrer que sikest un entier tel que 16k6peg’´,l´eital|Z k |=Cn’a lieu que sikest´egal `ap. p 4)Soitθl’application deC p−1 [X] dansCexelpmocemˆoynoltpouati`quP(Xed)´eaudegr   p plus´egal`ap−le´’osic1sa´eelntmeZ 1 P(Z 1 ), Z 2 P(Z 2 ), . . . , Z p P(Z p ) deC. a)Montrer que l’applicationθest un isomorphisme. p b)ent(l´emuiedd´En,eoperuqtue´ruotu 1 , u 2 , . . . , u p ) deCunteiqun´eueeml´netli,sixe p (λ 1 , λ 2 , . . . , λ p ) deCv´erifiant  λ 1 Z 1 +λ 2 Z 2 +∙ ∙ ∙+λ p Z p =u 1  2 22 λ Z+λ Z+∙ ∙ ∙+  1 12 2 λ p Z p =u 2 . .. .   p p p λ Z+λ Z+u 1 12 2 ∙ ∙ ∙+λ p Z p = p

5)On noteFl’espace vectoriel complexe des suites complexesu= (u n ) n∈N ruo´evafiirp,tn ∗ tout entiernrictemenstue`rastpue´irptilage´l’,e´u n =u n−1 +u n−p . Autrement dit, on a :

F={(u n ) n∈N ∈ S C ;∀un > p n =u n−1 +u n−p } ∗ a)quere´VfiireFest un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel complexe des suites complexes. b)Montrer que, pour tout entierkis´ntneltie´gelas1´evfiari6k6pirte´moeeuq,lteg´asui n (Z) n∈N det´esntme´eelF. ∗ k c)Soitu= (u n ) n∈N enemetdiuete´´lnuseFet soit (λ 1 , λ 2 , . . . , λ p dusytionsoluique)nu’lemtse` ∗  λ 1 Z 1 +λ 2 Z 2 +∙ ∙ ∙+λ p Z p =u 1 2 22   λ Z+λ 1 12 Z+∙ ∙ ∙+λ p Z p =u 2 2

. .. .   p p p λ 1 Z+λ 2 Z+∙ ∙ ∙+λ p Z=u p 1 2 p p X n lasuitecomplexedetermege´n´eλ On notev= (v n ) n∈N ralv n = k Z k . ∗ k=1 Montrer que les suitesuetvntsoga´e.sel   n nn d)(Montrer queZ) )est une base deF. 1 n∈N ,(Z 2 n∈N , . . . ,(Z) n∈N ∗ ∗∗ p Partie II 1)Pour tout entier naturelqecri’tladpiael`pocsno,iΦnno q deR q [Xota`iuqetudans]mˆemlui-   polynˆomeA(X) deR q [Xosiclepelonyoˆem:Φas] q A(X) =A(X)−A(X−1)−A(X−p). Montrer que l’application Φ q est un automorphisme deR q [X]. 2)SoitQ(XOnnotesr´eels.lypoun)tneicffieoca`emoˆnE Q l’ensemble des suites complexes u= (u n ) n∈N tfiuiorter,utnoaprei´tvnenmeteictrerp´sunta`eirusp,t´e:agil’le´ ∗ u n =u n−1 +u n−p +Q(n). Autrement dit, on a : E Q ={(u n ) n∈N ∈ S C ;∀un > p n =u n−1 +u n−p +Q(n)} ∗ a)oˆnylopeuqinunuestxile’iquertrone´n,toeesltsr´ciencoeffime`aMA 0 (X), tel que la suite   A 0 (n) ∗ ´tsee´lementdeE Q . n∈N b)Prouver qu’une suite complexeu= (u n ) n∈N entdeest´el´emE Q si et seulement si la suite ∗   u n −A 0 (n) ∗ `tlaitneppraarielectoacev’espFeuqalsnadinfie´dniostI-5). n∈N c)eduirequepourtouedt´uEsnti(eu n ) n∈N ´eelntmede´E Q (le,itsix´nuee´letnemα 1 , α 2 , . . . , α p ) ∗ p deCtel que, pour tout entier naturelnnno,lunnoel´atgie´’l:a n nn n u=α Z+α Z+∙ ∙ ∙+α Zα C+A n2 21 1p−1 p−1 + p0 (n). d)Soit (u n ) n∈N une suiteellee´rme´le´etdenE Q ,soisqueentec´edrpe´oisneutsedqsreuiedD´.t ∗ n ilexisteunr´eelαnon nul tel queu n ∼αC, soit la suite (u n ) n∈N ets´ngeildeleabgelantva ∗ n n suite (C) n∈N dire-`a-tse’cu n = o( C). ∗ 3)SoitQ(Xicneocffiepenmal`onyuo)ˆote.Onneelstsr´I Q ussedelbmesne’leslleer´esit u= (u n ) n∈N refiina,t´ventierpourtoutnustnre´pcirtemetsurie`ape:lit´inl’ga´e, ∗ u n 6u n−1 +u n−p +Q(n). Autrement dit, on a : I Q ={(u n ) n∈N ∈ S R ;∀un > p n 6u n−1 +u n−p +Q(n)} ∗ a)Soit (w n ) n∈N itsu´eerleell´´enemeedtuenFa`temrseetstrictement positifs. Pour tout ∗ r´eelaet tout entier naturelnnon nul, on posev a,n =aw n +A 0 (n) et on notev a la suite (v a,n ) n∈N . ∗ 2