Mathématiques I 2003 Classe Prepa MP Concours Mines-Ponts

Description

Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 26 février 2007
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français

Extrait

A 2003 Math MP 1

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Filie`reTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2003

´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`reMP (Dur´eedel’e´preuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours: Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Lescandidatssontprie´sdementionnerdefa¸conapparentesurlapremi`ere page de la copie : ´ MATHEMATIQUES1-Fili`ereMP. Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte.

Si,aucoursdel’e´preuve,uncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreur d’´enonce´,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesqu’ilestamene´`aprendre.

Premie`repartie

Lebutdecettepremi`erepartieestd’´etablirdesre´sultatsquiserontutiles dans la seconde partie.

´ Etantdonne´unentiernstrictement positif (n≥1),soientS n etI n les deux r´eelsd´efinisparlesrelationsci-dessous:   n−1n−1   n n   1dy   S n = ;I n =dx . i+j+ 1x+y+ 1 0 0 i=0j=0

1

Inte´graleI n . 1. Calculer,pour toute valeur de l’entier strictement positifntni’l,elarge´I n .

2.De´terminerlesconstantesA,B,CetDe´deolevmepptnefigurantdansl limit´edelafonctionn−→I n nte:uivarmeslafosuostirce´’siuqifininl’`a   D1 I n =A n+Blnn+C+ +o . n n SommeS n : ´ 3.Etablirunencadrementdur´eelS n `a’liaededI n .

4.Ende´duirequelasommeS n ´esteenalivqu’lnieta`2anfi`inln 2.

SoitJ n nt´el’ilargiusetnav:e   2  n−1 1  k J n =x dx. 0 k=0

Inte´graleJ n : 5.D´eterminerlarelationquiliel’inte´graleJ n elarue´S n sroleuqnd.Edu´ee,ir l’entiern´nqetnu,eltniuavıtincroˆnimed´efideJ n l’`ai.finin

Seconde partie

SoitEeel;soitertienr´rpe´ihblnuseapec(x, y)→−(x|y) le produit scalaire de cet espace.La norme d’un vecteurxdeEtesreaialscitduorpecedetiude´d, not´eex.

´ Etantdonn´eunre´elµ´erieurou´egal`a(1pusµ≥1), une suite denvecteurs d’un espace euclidienE n , de dimension finien,x 1 , x 2 , ..., x n est diteµ-presque orthogonale(enabr´eg´eµet seulement si :-p.o.) si

i. lesvecteursx 1 , x 2 , ..., x n ,tie´unmeorentdons ii. pourtoute suite finie denr´eelsa 1 , a 2 , ..., a n la norme du vecteur  n a i x i ielbuodatilage´nelifierv´´esuivante: i=1 2 n nn   1 2 2 (a i )≤a i x i ≤µ(a i ). µ   i=1i=1i=1 Plusge´n´eralement:unesuited´enombrable(x k vecteurs unitaires) de k∈N d’unespacepre´hilbertienr´eelestditepresqueorthogonale(p.o.),sietseule- ments’ilexisteunre´elµ≥1 tel que, pour tout entiernstrictement positif, pour toute suite extraitex ,x ,et pour tou k 1 k 2 ..., x k n de la suite (x k ) k∈N te  n suite finie den´rlseea 1 , a 2 , ..., a n ra i fie la ,la norme du vecteu i=1 x k i ´eriv relation suivante :

2

2 n nn   1 2 2 (a i )≤a i x k i ≤µ(a i ). µ   i=1i=1i=1 Remarque :la suite des indicesk 1 , k 2 , ..., k n de la suite extraitex k 1 , x k 2 , ..., x k n , est une suite monotone strictement croissantek 1 < k 2 < ... < k n . Premie`resproprie´t´es: SoitE n un espace euclidien de dimensionn. 6.D´emontrerque,pourqu’unesuitedenvecteursx 1 , x 2 , ..., x n soit unebaseorthonorm´eedeE n , il faut et il suffit qu’elle soit une suite 1-presque orthogonale. 7.D´emontrerque,siunesuitedenvecteursx 1 , x 2 , ..., x n deE n est µ-presque orthogonale, la suite est libre. Un exemple : SoitE’lseevtcapecldesorietionfoncellee´rseinfie´dstiontcserlsuesnue segment [0,1] ; le produit scalaire de deux fonctionsfetgdeEsteefid´rpani la relation suivante :  1 (f|g) =f(x)g(x)dx. 0 Soit (P n ) lasuite des fonctions deEd´efinieaniv:tealitnouspsraaler n∈N n P n (x) =2n+ 1x . 8.De´montrerque,bienquelasuitedesfonctionsP n itroemdnee´osnuti libre, la suite (P n ) n’estpas presque orthogonale. n∈N

Soit (V 1 , V 2 , ...,V n ) une suite libre deneriatinustnadnep´endsiurteecsv d’un espace euclidienE n de dimensionn. SoitMro’derdraceee´rmalaictrn dontlese´l´ementsm i j es´saagcaxluruiapxorousdttniteursesdesvecV i etV j .

M= (m i j ) ;m i j = (V i |V j ). ´ n Etantdonne´eunesuitedenlsr´eea 1 , a 2 , ..., a n ,soitAle vecteur deRde coordonn´eesa 1 , a 2 , ..., a n la`ambcoaiinnlsoe´nieriasedeWtelevtcue´rgela vecteursV 1 , V 2 V, ..., n avec les coefficientsa 1 , a 2 , ..., a n :   a 1 n  a 2   A= ;W=a i V i .   ... i=1 a n

La suite de vecteurs(V 1 , V 2 V, ..., n )estµ-presque orthogonale : 9.De´montrerl’existenced’unematricecarre´ePorthogonale et d’une ma- trice diagonaleDnolasenodtffie´erl´ementsdeladiagdttnolsuoe´se,e0sdnt telles que :

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t M=P.D.P.

t t ´ 10. Etablirla relation qui lie la norme du vecteurWelur´eaA.M.A;A de´signelamatricetranspose´edelamatricecolonneA.

11.End´eduirequelese´l´ementsdelamatriceDsont strictement positifs, puisend´eduireunencadrementdelanormeduvecteurWlav`sasruededel’ai propres de la matriceMet de la norme du vecteurBarl´egal`al’imagepa matricePdu vecteurA(B=P.A).

12.Ende´duirequelasuite(V 1 , V 2 , ...,V n ) estµ-presque orthogonale ; pre´ciserdesvaleurspossiblespourler´eelµ.

Soit maintenant (V n aiitsdreeuctunrselbaevedne´drbmounesuite)u’n n≥1 espacepre´hilbertienr´eelE.

Une condition suffisante : 13.De´montrerque,s’ilexisteunr´eelα,srtcietemsunterp´urie3(`aα >3), tel que le produit scalaire de deux vecteursV p etV q losbarueeujomaitsoalnveer´ −|p−q| parlere´elα,e:se’c`at-ir-d 1 |(V p |V q )| ≤, |p−q| α la suite (V n presque orthogonale.) est n≥1

Deuxquestionspre´liminaires: 14. Soitfond´nctilafoniefianedeqslrtualped1[na,∞[×[1,∞[ par la relation suivante : 2y+ 12xy+ 1 f(x, y) =. y+xy+ 1 SoitGniesd´efidemiurlati[ed-or1fal,noitcno,∞[, par la relation suivante : G(xlim) =f(x, y). y−→∞ ´ Etudierlesvariationsdessixfonctionsd´efiniessurlademi-droiteferme´e [1,∞[ par les relations suivantes :

x−→f(x,1) ;y→−f(1, y) ;G:x→−limf(x, y) ; y−→∞ y→−limf(x, y) ;f y :x−→f(x, y) ;f x :y→−f(x, y). x−→∞

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