Mathématiques I 2003 Classe Prepa PSI Concours Mines-Ponts

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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
• Nombre de lectures: 91
• Langue: Français

Extrait

A 2003 Math PSI 1

´ ´ ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ´ ´´ ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L’AERONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, ´ ´´ DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATIONS, ´ DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, ´ ´ DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ´ ECOLEPOLYTECHNIQUE(Fili`ereTSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2003

´ ´ EPREUVE DE MATHEMATIQUES ` ´ PREMIERE EPREUVE Filie`rePSI (Dur´eedel’´epreuve:3heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujetmis`aladispositiondesconcours:CycleInternational,ENSTIM,INT, TPE-EIVP.

Lescandidatssontpri´esdementionnerdefa¸conapparentesurlapremie`re page de la copie : ´ MATHEMATIQUES1-Filie`rePSI.

Cete´nonc´ecomporte4pagesdetexte.

Si,aucoursdel’´epreuve,uncandidatrepe`recequiluisembleeˆtreuneerreur d’´enonc´e,illesignalesursacopieetpoursuitsacompositionenexpliquantles raisonsdesinitiativesqu’ilestamen´ea`prendre.

SoitIl´time0se:1tegesntmeexd’´etrI= [0,lbe`em1];danstoutceproh etfller´eeoiteladrssrunieuoctnseteniefid´es´enndoesllee´rsnoitcnofsostned R. Soit(E:eseiuavtnntrelliendio´eiffe´’ltauq)

 (E)−y(x) +h(x)y(x) =f(x), o`ulafonctionynotcoiinetsnufefin´esuieonncednue´reelledalrtiorR.

Lebutdeceproble`meestd’´etudierlessolutionsdecettee´quationdiffe´rentielle (Eoinlotu)uqiv´erifientlesconitid“snolxuatimi”sesvauiesntas:ly´eerehcerhc estnulleenchacunedesextre´mit´es0et1del’intervalleI.

Les fonctionshetfnatesedt´seusrcsnoitunsr´eellefonctionR, soit (S) le syst`emeconstitue´del’e´quationdiff´erentielle(Elaitauesnoirpxtnam´sqeteed) nullit´edelasolutionyellavretmit´es0et1del’inaxuxerte´I:

1

  −y(x) +h(x)y(x) =f(x), (S) y(0) = 0, y(1) = 0. Une fonctionyefini,d´esurRsiocxuofuˆemtnni,deiverd´ntrsuleabRafiire´v,tn lese´quationsdusyst`eme(Sitesolut)estdme`t(ednoisysuS).

Premi`erepartie

La fonctionhstanecon`aungaletse´enoitcnofalteetfest nulle: 1.De´montrerque,lorsquelafonctionhiesurd,nfie´Ra`nue,est´egale constanter´eelleα(h(x) =α∈R) et la fonctionfest nulle (f(x) = 0), la seule solutiony(tsyusdeme`S) est la fonction nulle (y(x) = 0 pour toutx), sauf 2 pourcertainesvaleursdure´elαqropesee;ss´ci´eprntroseuiα=ωouα= 2 −ω(ω >lievra´n)t,qsueu0eelα.fitageictrusfon´ntmeteetemrtciisittnopests

Uneexpressiondelasolutiondusyste`me(S) : Unre´sultatpr´eliminaire:soitϕfenurunuesontieetcefiniel´de´leoirnnotc ladroitere´elleRtincfolatΦoi;sivante:lationsuperaalerno´dfiein

  x1 pourtoutre´elx,Φ (x) = (1−x)t ϕ(t)dt+x(1−t)ϕ(t)dt. 0x 2 2.De´montrerquelafonctionΦestd´efinieetdeclasseCsur toute la droite re´elleRerminersad´eriv´eeesocdnΦe;te´d´ainsi que les valeurs prises par la fonction Φ en 0 et en 1 :Φ (0),Φ (1).

3.D´emontrerque,siΦ 1 e´iravlbuefxiodsesurlatsefenuel´e,dlectonnrio droiter´eelleRelrsletavee´irefilequ’ell,telteans:nsioivsu

 pourtoutre´elx,Φ (x) 1 =−ϕ(x),Φ 1 (0) = 0,Φ 1 (1) = 0, les fonctions Φ et Φ 1 ntsoΦ(selage´ 1 = Φ). 4.End´eduire,lorsquelafonctionhestentleeni’ut´ci’uedllun’l,esixecnet solutionye(t`emsusydS 0 ) suivant :   −y(x) =f(x), (S 0 ) y(0) = 0, y(1) = 0. Une condition sur la fonctionhlorsque la fonctionfest nulle: La fonctionfulen´eosppsuste(elfe`tsysel;)0=me(St,ecri)s’´   −y(x) +h(x)y(x) = 0, (S 1 ) y(0) = 0, y(1) = 0. 5.D´emontrerque,pourqu’unefonctiony,unitnoctrdalruseteoid´efiniee re´elleRelysirefiem(tse`´e,vS 1 ),il faut et il suffit que la fonctionyvuorefip,e´ir toutr´eelx, la relation (R) suivante :   x1 (R´pe)elourtoutrx, y(x) = (x−1)t h(t)y(t)dt+x(t−1)h(t)y(t)dt. 0x

2

6.D´emontrerl’existencededeuxre´elsHetYrespectivement maximums des valeurs absolues des fonctionshetysur le segmentI= [0,1].

7. Soity(emesudn`tsyesolutiounS 1 ;)e´leuort,perrtouemd´tronxappar- tenant au segmentI(0≤x≤1),lage´ni’l:teanivsu´eit H Y |y(x)| ≤. 8 8.End´eduireuneconditionne´cessairesurlafonctionh, pour qu’il existe des solutionsytincfolae,llnuone`tsysud(ema,qseutuerS 1 uel,euqsroVi.r)e´qrefi la fonctionhest constante, cette condition est remplie lorsqu’il y a des solutions diff´erentesde0.

Seconde partie

Rappel :une fonctionf,iter´eellee´d,einfilrusorda´erleelR, est dite 2- pe´riodiquesietseulementsi:pourtoutre´elx, f(x+ 2) =f(x).Les coeffi- cients de Fouriera n (f), b n (f), n≥1,sparefinintd´soviussnoitalerselstean :

pour toutnor´ugelapue´irues`a1,

  2 2 a n (f) =f(t) cos(n π t)dt, b n (f) =f(t() sinn π t)dt. 0 0

Lebutdecettesecondepartieestdere´soudrel’e´quationdiffe´rentiellesuiv- ante

 (F)−y(x) +h(x)y(x) =f(x), o`uhetfonssedtcnofnoite´dsueinntcoe,lleer´etiordalrusseinfi-se2,apri,smi pe´riodiques.Lafonctioninconnueympeireaippsu´eostseiodiqueis-2´pree,llaesu, maisenplusdeuxfoiscontinuˆmentd´erivableetve´rifiantlesconditionsauxlim- ites suivantes sur le segmentI: elleest nulle en 0 et en 1.

Lorsque la fonctionyblvae,itnomuˆndtneire´odique,deuxfoisc,miapri2ep-e´ir v´erifiel’´equationdiffe´rentielle(Fniefid´eses-dciessnoitidntimilxuaesco)etlsus, elleestditesolutiondusyst`eme(T) suivant :   −y(x) +h(x)y(x) =f(x), (T) y(0) = 0, y(1) = 0. SoitGnotclfae´rraclensdaiefin´endioI×Ipar la relation suivante :  t(1−x),si 0≤t≤x, (x, t)→−G(x, t) x(1−t),six≤t≤1. ´ Etantdonne´unre´elxsedu´efixtengmI ,soitG x la fonction impaire, 2- pe´riodique,´egale`aG(x, tltuotee´r)ruoptappartenant au segmentI:

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