MATHÉMATIQUES II Filière TSI

Laurent

Description

Niveau: Supérieur
MATHÉMATIQUES II Filière TSI Concours Centrale-Supélec 1999 Partie I - Dans cette partie, désigne un entier naturel impair , supérieur ou égal à 3. L'espace vectoriel est muni de sa structure euclidienne canonique, et sa base canonique est notée . On appelle la matrice carrée d'ordre définie par : avec On note l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique est . I.A - Calculer et . I.B - Pour , déterminer . En déduire , pour entier impair supérieur ou égal à 3. I.C - On désigne par et le noyau et l'image de l'endomorphisme . Monter que : I.D - En déduire que la matrice est diagonalisable. Expliciter une base de vecteurs propres de ainsi qu'une matrice diagonale semblable à . Montrer que les sous-espaces propres de sont orthogonaux. I.E - Dans cette question, est un espace affine euclidien de dimension 3, muni d'un repère orthonormal ; étant un point de , on note ses coordonnées dans ce repère. Si est un réel fixé, on note la surface d'équation . I.E.1) Montrer qu'il existe un repère orthonormal dans lequel l'équation de est : Discuter la nature de la surface , en distinguant les cas : , , .

• surface d'équation


• e1˛ v1


• entier


• ic5 a0


• e2 …


• b2 b2

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Extrait

MATHÉMATIQUES II

Concours Centrale-Supélec 2002

1/6

MATHÉMATIQUES II

Filière PC

Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomor-

phisme, en relation avec la notion de produit vectoriel

Dans tout le problème,

• les espaces vectoriels

et

sont munis de leur produit scalaire

canonique et orientés par leur base canonique,

• on désigne par

ou

le produit scalaire de deux vecteurs

d’un espace vectoriel euclidien, par

la norme associée,

• on désigne par

le produit vectoriel défini pour un espace vectoriel

euclidien orienté de dimension 3.

Les vecteurs dans les espaces vectoriels

sont notés en colonnes, mais on leur

préférera la notation

, transposée d’une ligne, lorsqu’ils seront de grande

taille.

Partie I - Étude dans

euclidien orienté de dimension 3

On considère dans cette partie

espace vectoriel euclidien orienté de

dimension 3 et la base canonique

orthonormale directe. Si

est dans

on définit

, endomorphisme de

, par sa restriction à

:

I.A -

Dans cette question on considère les endomorphismes

, de

matrices respectives

et

dans la base

:

Déterminer

et

, matrices respectives dans la base

de

et

.

IR

3

IR

4

,

IR

6

x

y

,

〈

〉

x

y

⋅

x

y

,

.

∧

IR

n

…

(

)

t

E

E

IR

3

=

B

e

1

e

2

,

e

3

(

,

)

=

u

L

E

(

)

u

~

E

B

u

~

e

1

(

)

u

e

2

(

)

u

e

3

(

)

∧

=

u

e

2

(

)

~

u

e

3

(

)

u

e

1

(

)

∧

=

u

~

e

3

(

)

u

e

1

(

)

u

e

2

(

)

∧

=



















u

1

u

2

,

L

E

(

)

∈

U

1

U

2

B

U

1

0

0

1

–

1

0

3

–

0

1

3

–





















=

U

2

0

1

1

0

1

1

–

0

1

1





















=

U

~

1

U

~

2

B

u

~

1

u

~

2