Mathématiques pour l'informatique 2004 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2004 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 23 juin 2010
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

Universit´eParis7 DEUG MIAS et MASS

Examen du 23 janvier 2004 Dur´ee:3heures.Bare`me:5,4,6,5. LesquestionsIII,5etIV,6sonthorsbare`me.

I

Ann´ee2003/2004 MT231

3 Soitatioe´reS.learam`etrunpfl’endomorphisme deRdont la matrice, dans la base canonique (e 1 , e 2 , e 3 ), est   1−1 2   M= 3−3 6. a−1 2 1- Montrer que le rang defsepuat´sulreopprurdeeruq0eseutenavelegal`a2.End´eduif.

2- Trouver les valeurs dea∈Rpour lesquellesfest diagonalisable.

3-Onsupposede´sormaisquea= 1. Soitv 2 =f(e 3 ). a) Montrer quev 2 ∈kerf. b) Montrer que kerfcontient un vecteurv 1 l`aonneroitrpponnov 2 . 3 c) Montrer que (v 1 , v 2 , e 3 ) est une base deR. ´ d) Ecrire la matrice defdans la base (v 1 , v 2 , e 3 ). II

R´esoudrelesyste`mediffe´rentielsuivant:  0  x= 2x+y+2z 0 y=−2x−y−4z .  0 z=x+y+3z

III

Onconside`relasuite(a n ) n≥0 :ucrrneec´earrlpaiefin´ed ∗ a 1 =a 0 = 1,(S) (n+ 1)a n+1 =a n +a n−1 ,∀n∈N. 1- Montrer que|a n | ≤1 pour toutn∈N.ire´rppo´te´ecuparrcelarren´no:noitarilbatecadiInP n suivante, pour toutn≥1: (P n )|a n | ≤1 et|a n−1 | ≤1.

P n 2-Montrerquelase´rieenti`erea n xa un rayon de convergenceRsua1.ag`luoe´eiru´pre

∞ X n 3- Soitf:]−R, R[→Rnotclfapaierndiofin´ef(x) =a n x. En utilisant la relation (S), n=0 montrer quefeillertneatqu´el’´eiffndioosenutseednoitul 0 (E)y(x)−(x+ 1)y(x) = 0. 4- Calculer toutes les solutions de (E).nE´ddeiueruqefest, sur l’intervalle ]−R, R[, l’unique solution de (E) telle quef(0) = 1. Exprimerfcomme une fonction usuelle. 5-De´terminerlavaleurexactedeRqrertnom´etdeeu X 1 a n =,∀n∈N. l k! 2l! k≥0,l≥0,k+2l=n

6-R´esoudrel’e´quationdiff´erentielle

2 0x /2 y(x)−(x+ 1)y(x) =e .

IV

Notation : siAest un sous-ensemble deR, on noteR\A={x∈R:x6∈A}.

Onconside`relessuitesdefonctions(f n () etg n r:paesni)´dfie n≥1n≥0 1 ∗ f n (x) =∀x∈R\N, 2 (x−n) 1 g n (x) =∀x∈R\Z − , 2 (x+n) ∞ ∞ X X etlesse´riesdefonctionsf n etg n . n=1n=0 P P ∞ ∞ On noteraf(x) =f n (x) etg(x) =g n (xsecedsemmossel)svleurpos,ieers´srlaue n=1n=0 dexpour lesquelles elles convergent. P P ∞ ∞ ∗ 1-D´emontrerquelas´erief n converge simplement surR\Nquelas´ertieeg n n=1n=0 converge simplement surR\Z − .

2- Exprimer, pourx∈R\Z,f(x+ 1)en fonction def(x) etg(x+ 1)en fonction deg(x).

3-Onconsid`erelafonctionp:R\Z−→Rard´efiniepp(x) =f(x) +g(x). Que peut-on dire de p(x+ 1)−p(x) ? P ∞ 4-D´emontrerque,pourtoutε >´eri,las0ef n converge normalement sur ]− ∞,1−ε] et n=1 P ∞ las´erieg n converge normalement sur [ε,∞[. n=0

5-De´montrerquefest continue sur ]− ∞,1[ et quegest continue sur ]0,∞[.

6- Montrer quepest continue sur ]0,iueruqeEn[.edd´1pest continue surR\Z.