Mathématiques pour l'informatique 2007 Informatique Université Paris (Diderot) 7

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Examen du Supérieur Université Paris (Diderot) 7. Sujet de Mathématiques pour l'informatique 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques pour l'informatique 2007 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 23 juin 2010
• Nombre de lectures: 24
• Langue: Français

Extrait

Universit´eParis7 L2 MIAS

Examen du 12 janvier 2007 Dure´e:3heures Bar`emeindicatif:I=2;II=2;III=2;IV=6;V=7;VI=3 L’utilisationdecalculatrices,t´el´ephonesportablesetdocumentsestinterdite.

MI3 2006-2007

I Question de cours.SoitAerdro’dee´rrcecaatriunemna`,olis.eSer´ttsenciefficoSl’ensemble des n0 fonctionsX:R→Rntre´eiffelliesned’le´uqtaoidnquisontsolutioX=AX. 1)Montrer queSest un espace vectoriel. 2)Quelle est la dimension deSepnddeasneonmade(?se).al´rpenoujtsfiire II Soitα∈[0, πonlesrenimrete´D.]αaseleduratanl:eavtnseiue´ir   X 1 sinα+. 2 n n≥1

III Soit (a n ) n∈N ebromunasuildse´etedeldsicamirrationnelπ(i.e.a 0 = 3,a 1 = 1,a 2 = 4, etc.). On P ∞ n consid`erelase´rieentie`rea n z. n=0 1)rueire´pustseeir.a1l`ga´eounoevdncearoyeueles´ecettcedergene´Dtnomqrer 2)eu’lneesomtnerqr´eDmble{n∈N|a n 6= 0}est infini. 3).tseeire´1a`lage´geernvcoaselednc´Dnomeayerdeonertrelqu IV ∗ Pour toutn∈Net toutx∈R, on pose −(n+1)x e f n (x) =. n(n+ 1) P 1)tcoisnquelas´eriedefon´Dnomerertf n est normalement convergente sur [0,+∞[. n≥1 P On poseraf(x) =f n (x), pour toutx∈[0,+∞[. n≥1 2)Montrer quefest continue sur [0,+∞[. P 0 3)v´eeried´eriLsae´fest-elle absolument convergente sur [0,+∞Ju[?ifistope´.esnovrerert n≥1 n P 0 D´emontrerque,pourtoutb >´sre,0aliefest normalement convergente sur [b,+∞[. n≥1 n 4)emontrerque´Dfbaviusel0]rd´er,+∞0[serue[stteecd´isrontsa,+∞[. 5)e´tiDe´rerlmontegal’in´ −x e ∀x >0f(x)≤. −x 2(1−e) End´eduirequelim x→∞ f(x) = 0. 6)Calculerf(0).

V 3 Soita∈R.Omeisphoromdne’lere`disnocnϕ a deRdont la matrice dans la base canonique (e 1 , e 2 , e 3 ) est :  ! −1−1 1 M a = −1a1 . −3a−2 3 1)alCeprllecuemoˆnyloe´tcaraciqueristdeϕ a e´D.mretorpsserpmbseleerinenl’.Endrisee´udelruseav desre´elsapour lesquelsϕ a est diagonalisable. 2)rete´Deeslse´redblemns’erlnemiapour lesquelsϕ a est trigonalisable. 3roe´sodetnuqanavesuppOna= 0. Trouver une matrice inversiblePet une matriceTde la forme :  ! λ 1 0 0 T = 0λ 2 1 , 0 0λ 2 −1 telles queP M 0 P=T. ´ 4)EcrireTsous la formeT=D+Nu,o`Dest une matrice diagonale etNune matrice telle que 2k N= 0 etDN=N Dire.End´eduTpour toutk∈N. Expliquer comment vous feriez pour calculer k (M 0 ) .

VI 2 1)el’ed`erorphndomsiemisnocnOϕdeRdont la matrice dans la base canonique (e 1 , e 2 ) est :   0 1 A=. −9 6 Calculerlepolynˆomecaracte´ristiquedeϕrpsepsorelruseavesirdu´end.E. 2)lesyudre´esoRre´ffitnee`tsidemel  0 x(t) =y(t) 0 , y(t) =−9x(t6) +y(t) o`ulesinconnuesxetyavlbseednodse´iresfonctisontdRdansR. 00 0 3)erordocdndusetionequael’´ituldsnoleriossendEdu´ef(t)−6f(t) + 9f(t) = 0.