Polytechnique X 2001 premiere composition de mathematiques classe prepa mp

Description

FILIÈRE MP ÉCOLE POLYTECHNIQUE CONCOURS D’ADMISSION 2001 PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES urée : 4 heures) CD L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve. *** On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. *** Première partie On désigne par S le plan complexe C privé du sous-ensemble -N - 1/2 = { -1/2, -3/2, . . . }. Pour tout s dans S on note (E,) l’équation différentielle 2341 - x)f”(Z) + (2s + 1 - (2s + 3)$(z) - Sf(X) = 0 On cherche une solution de (E,) sous la forme d’une série entière fs(z) = C U~(S)~? avec au = 1 . 7120 1. Écrire a,+r(s) en fonction de a,(s). 2. Déterminer la limite de “u+;(,’ lorsque s n’est pas un entier négatif ou nul. R. 3. Montrer que le rayon de convergence de la série est égal à 1 ou à +CC et que sa somme fs(z) est effectivement une solution de (E,). 4. Montrer que la fonction (s, X) H fs(z) est continue sur Sx] - l,l[. 5. On considère maintenant l’équation différentielle t2(1 - t2)F’(t) - 2t3P(t) + s(1 - s)(l - t2)iqt) = 0 ) t E]O, 1[ . (-a 1 a) Ramener sa résolution à celle de (E,) en cherchant F(t) sous la forme t”f(t2). [On dt” rappelle que dt = st”-l.] b) Montrer que, si s n’appartient pas à Z + 1/2, les fonctions as(t) = t”fs(t2) et f CE&(t) = t’-“fl-s(t2) orment une base de l’espace des solutions de (EL). Deuxième partie On désigne par ‘FI l’ensemble des nombres complexes z = z + iv tels que y > 0 ; on pose Re z = 2, ...

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• Publié par: shura
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• Langue: Français

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