Polytechnique X 2002 premiere composition de mathematiques classe prepa mp

Description

ÉCOLEPOLYTECHNIQUE FILIÈREMPCONCOURSD’ADMISSION2002PREMIÈRECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES(Durée:4heures)L’utilisationdescalculatricesn’estpasautoriséepourcetteépreuve.Onattacheralaplusgrandeimportanceàlaclarté,àlaprécisionetàlaconcisiondelarédaction.Lapremièrepartieestindépendantedestroisautres.Premièrepartie∞1.Onconsidèreunesuite (w ) ...

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• Publié par: shura
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Extrait

ÉCOLE POLYTECHNIQUE

CONCOURS D’ADMISSION 2002

MP FILIÈRE

PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES (Durée : 4 heures)

L’utilisation des calculatrices n’est pas autorisée pour cette épreuve.    On attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.    La première partie est indépendante des trois autres.   

Première partie

∞  1.On considère une suite(w n ) n∈N de réels strictement positifs vérifiantw n = 1et une n=0 ∞  2 uew <+∞. suite(a n ) n∈N de réels telle q n a n n=0

∞  2 Vérifier que la fonctionx→D a (x) =w n (a n −x)est bien définie surRet atteint son n=0 minimum. On déterminera ce minimum ainsi que l’ensemble des points où il est atteint.

2.On considère une fonction continue réelle de carré intégrablefsur l’intervalle]0,1[. Vérifier  Ä ä 1 2 que la fonctionx→D f (x) =f(t)−xdtest bien définie surRet atteint son minimum. 0 On déterminera ce minimum ainsi que l’ensemble des points où il est atteint.

Deuxième partie

Dans cette partie, on se donne une fonction réellefsur l’intervalleI=]0,1[, continue par morceaux et intégrable.  1 3.Vérifier que la fonctionx→Δ(x) =|f(t)−x|dtest bien définie surR. 0

4.a)Montrer que la fonctionΔest continue et convexe.

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