Première composition de Mathématiques 2005 CAPES de mathématiques CAPES (Externe)

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Concours de la Fonction Publique CAPES (Externe). Sujet de Première composition de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Première composition de Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

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• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 avril 2008
• Nombre de lectures: 44
• Langue: Français

Extrait

Notationsetobjetduproble`me

Onde´signepar: Nl’ensemble des entiers naturels; Z;l’anneau des entiers relatifs Qle corps des nombres rationnels; ∗ Ql’ensemble des nombres rationnels non nuls; Relproc;ssrreel´eessdmbno ∗ ∗ R[resp.R];s]’l´eeldesrmbleensets.pser[slunnonsifitostpenemctri + Cle corps des nombres complexes; ∗ C;l’ensemble des nombres complexes non nuls Z[x]fita.snofseduaopsnoitcneanl’stneicnersleitremiallynocoeffies`a Pour tout entier natureln,on noten!la factorielle denavec la convention0! = 1. Sif´endniioctonefuntsesurfinieed´eavlbe´irnedtnfimiRs`ra´vealeursetellekest un entier (k) naturel non nul, on notefriv´eed’ordrenofale´dnoitckdef.On utilise la convention habituelle, (0) f=f. ∗ SiItetniutsee´lellrereavintnunpoit`a´edunonrfoitcnofenueedblvari´endIdansC,on 0 f rappellequelad´eriv´eelogarithmiquedefest la fonction. f Lapremie`repartiedeceproble`meestconsacr´ee`alad´emonstrationdequelquesr´esultatsutiles pour la suite. Dansladeuxi`emepartie,`apartird’unecaracte´risationdessousgroupesadditifsdeR(ils sont densesoudiscrets),onde´duituncrit`ered’irrationalite´etonde´critunem´ethodepermettantde prouverqu’unr´eelestirrationnel. r Cetteme´thodeestutilis´eedanslatroisi`emepartiepourmontrerl’irrationalite´deepour tout nombre rationnel non nulr.xomiparpsnartaoinelltionesCeproc´e´demrepe´teelagntmeobd’niteesrd de la fonction exponentielle. Danslaquatri`emepartieons’inte´resseauxracinesr´eellesdessolutionsd’une´equationdiffe´rentielle line´aired’ordre2etpntnessnatnoocntsnfficieacoe`neci´esrleelessditrailucasrearxuofcnitnodse Bessel d’indice entier. Enfindanslacinqui`emepartie,onmontrequelesracinesr´eellesnonnullesdesfonctionsde Besseld’indiceentiersontirrationnellesenutilisantunem´ethodevoisinedecellede´critedansla deuxi`emepartie.

Onrappellelaformuled’int´egrationparpartiesite´r´ee:sia, bqseusrdentsoelstel´ea < b, nun entier naturel non nul etf, gdofseitcndsnofin´essiel’urteinlealrv[a, b]datesellee´rsruealav`antmett desde´rive´escontinuesjusqu’`al’ordren,alors : " # b Z n Z b b X (n) k+1 ( n−k) (k−1) n (n) f(t)g(t)dt= (−1)f g+ (−1)f(t)g(t)dt. a a k=1 a

–I–R´esultatspr´eliminaires

Pourcettepartie,onde´signeparpun entier naturel, parPune fonction polynomiale dansZ[x] nonidentiquementnulle,dedegr´ep,et parnun entier naturel. 1. SoitQdee´imlaap:rnfieinctilafolynoonpo n x ∀x∈R, Q(x) =P(x). n! 1

(k) (a) Montrerque pour tout entier naturelk, Q(0) est un entier relatif. (n+k) Q(0) (b) Montrer que pour tout entier naturelkcompris entre 0 etp,est un entier k! relatif. 2. SoitRpnlotcoifanol:raepniefid´leiaomyn 1 n ∀x∈R, R(x() =x(1−x)P(x)). n! (k) (k) (a) Montrerque pour tout entier naturelkeslanqut´tiesR(0) etR(1) sont des entiers relatifs. (n) (b) Montrerque la fonction polynomialeUefid´epniraU=Rappaeitrnt`aZ[x]. 3. Enreprenant les notations deI.2uo`,PdansZ[x]\ {0}gededtser´ep,montrer que pour toute fonctionfdninfie´nemie´dtvariedbleRdansRon a : Z Z 1 1 (n) n (n) f(t)R(t)dt= (−1)f(t)R(t)dt. 0 0

– II – Sous-groupes additifs deRectreseir`tratid’irit´eonal

On dit qu’un sous-groupe additifHde(R,+)est discret si pour tout compactKdeR,l’inter- sectionH∩Kest vide ou finie. Pourtoutre´elθ,on noteH θ =Z+θZle sous-groupe additif deRerapdr´engen1etθ.Il est de´finipar: © ª 2 H θ =p+qθ|(p, q)∈Z. 1. Montrerque les sous-groupes additifs deRdiscrets sont de la forme :

αZ={pα|p∈Z},

ou`αlee´rnutse. ∗ 2. SoientHun sous-groupe additif deRt`uiaonnedr´{0}etK=H∩R. + (a) MontrerqueKadmetunee´irueerobnriefnαdansR + . (b) Montrerque siαest strictement positif, alorsαest dansK. (c) Montrerque siαest strictement positif, alorsHest discret. (d) Montrerque siαest nul, alorsHest dense dansR. 3.Montrerqu’unre´elθest irrationnel si et seulement si le sous-groupe additif deR, H θ =θZ+Z est dense dansR. 4.Montrerqu’unr´eelθest irrationnel si et seulement si il existe deux suites (p n () etq n ) n∈Nn∈N d’entiers relatifs telles que : ∀n∈N, q n θ−p n 6= 0,(1) lim (q n θ−p n ) = 0.(2) n→+∞ +∞ P 1 5.Montrerl’irrationalit´edunombree=enladeatltontiesqunasilituuse´reltII.4. k! k=0

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6. Pourcette question, on se donne un entier naturelp,une fonction polynomialePdansZ[x] de degr´epne s’annulant pas sur ]0,1[ et on lui associe les suites de fonctions polynomiales (U n ) n∈N et (L n ):rapesniefid´ n∈N  1 n  U n (x) =(x(1−x)P(x)), n! ∀n∈N,∀x∈R,  (n) L n (x) =U n (x). Onsedonnee´galementunefonctionftn´drevibaeledind´efinimeRdansRet on lui associe la suiteder´eels(R n :ar)fie´dpein n∈N Z 1 ∀n∈N, R n =f(t)L n (t)dt. 0 (a) Onsuppose que la fonctionfesesh`ote:ntvauire´vpyh’lefii (n) ∀n∈N,∀t∈]0,1[, f(t)6= 0.(H1) Montrer alors queR n est non nul pour tout entier natureln. (b) Onsuppose que la fonctionfaviusese`htopyh’elifierv´:etn  Z 1  (n) ¯ ¯ f(t)dt 0   ilexisteunr´eelρ >ntriobetios)2H(.ee´te0uelqsula  n  ρ n∈N n Montrerquepourtoutre´elµla suite (µ R n convergente vers 0) est. n∈N (c) Onsuppose que la fonctionferifielesv´es(syhophte`H1),(H`ethpohyl’et2):etnaviuses q n θ−p n ∀n∈N, R n = (H3) n αλ o`uα, λ, θnesdnrosoes´tlnete(unslp n ),(q n ) deuxsuites d’entiers relatifs. n∈Nn∈N Montreralorsqueler´eelθest irrationnel.

r∗ –III–Irrationalit´edeepourr∈Q

Pourcettepartie,ond´esignepar(U n )et(L n )ar:´efiniespdsnoitcnofedsetisuesl n∈Nn∈N  n n  x(1−x)  U n (x) =, ∀n∈N,∀x∈R , n!   (n) L n (x) =U n (x)

et par(R n )sal:rofedetiusdontincpaiefin´e n∈N Z 1 xt ∀n∈N,∀x∈R, R n (x) =e L n (t)dt. 0 1. (a) Montrerque pour tout entier naturelnettuorte´lexnon nul,R n (x) est non nul.

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