Equations différentielles et calcul d'intégrale, ROC sur les suites, QCM de probabilité et géométrie complexe. Sujet du bac 2010, Terminale S, Métropole
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2010 MATHÉMATIQUES Série S ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Durée de lépreuve : 4 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de lindiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, quil aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Le sujet comporte deux annexes à rendre avec la copie. Avant de composer, le candidat sassurera que le sujet comporte bien 7 pages numérotées de 1/7 à 7/7.
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EXERCICE 1 :(6 points)Commun à tous les candidats Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. Partie A : On considère léquation différentielle (E) : . 1) Montrer que la fonctionuunesur lensemble des nombres réels par est définie solution de léquation différentielle (E). 2). Résoudre léquation différentielle (E').On considère léquation différentielle (E') : 3) Soitv une fonction définie et dérivable sur . Montrer que la fonctionvune solution de est léquation différentielle (E) si et seulement si la fonction est solution de léquation différentielle (E'). 4)déduire toutes les solutions de léquation différentielle (E). En 5) Déterminer lunique solutiongde léquation différentielle (E) telle que . Partie B : On considère la fonction définie sur lensemble des nombres réels par oùkest un nombre réel donné. On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal. 1).admet un maximum en Montrer que la fonction 2)Montrer que le point dabscisse . point de la courbe note le On appartient à la courbe déquation . 3) Sur le graphique donné en annexe 1 (à rendre avec la copie), le repère est orthogonal mais lunité sur laxe des abscisses et sur laxe des ordonnées ainsi que les noms des courbes napparaissent pas. Sur ce graphique, on a tracé deux courbes : déquation ;la courbe la courbe déquation pour un certain nombre réelkdonné. a) Identifier les courbes et les nommer sur lannexe 1 (à rendre avec la copie). b)En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réelkainsi correspondante que lunité graphique sur chacun des axes.
4)À laide dune intégration par parties, calculer
de cette intégrale.
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Donner une interprétation graphique
EXERCICE 2 :(5 points)Commun à tous les candidats 1)Restitution organisée de connaissances. Démontrer à laide de la définition et des deux propriétés cidessous que si (u) et (v) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite. Définition :deux suites sont adjacentes lorsque lune est croissante, lautre est décroissante et la différence des deux converge vers 0. Propriété 1 : si deux suites (u) et (v) sont adjacentes avec (u) croissante et (v) décroissante alors, pour tout entier natureln,v>u. Propriété 2 : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou dinitiative même non fructueuse, sera prise en compte dans lévaluation. 2) Dans les cas suivants, les suites (u) et (v) ontelles la même limite ? Sontelles adjacentes ? Justifier les réponses. nna)uet= 1 10 v;= 1 + 10 b)u= ln (net+ 1) v= ln (n+ 1) + ;
c)u
= 1
et
v
= 1 +
.
3)considère un nombre réel On a positif et les suites (u
naturelnnon nul par :u
= 1
et
.
) et (v
Existetil une valeur deatelle que les suites soient adjacentes ?
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) définies pour tout nombre entier
EXERCICE 3 : (4 points) Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point nest enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse. 1)Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de lurne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :
2) De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans lurne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité davoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à:
3)De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne sil obtient le numéro 1. Sachant que le joueur a gagné, la probabilité quil ait tiré une boule blanche est égale à:
4)(On note X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre réel strictement positif). La probabilité de lévénement [ ] est égale à :
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étant un nombre
EXERCICE 4:(5 points)Candidats nayant pas suivi lenseignement de spécialité Dans le plan complexe muni dun repère orthonormal direct , on considère le pointAdaffixe 2 et le cercle c de centreOpassant parA. Dans tout lexercice on note le nombre complexe et le nombre complexe conjugué du nombre complexe.1)a)que . Démontrer b)Démontrer que les pointsBetCdaffixes respectivesau cercle c .et appartiennent 2) SoitDun point du cercle cdaffixe où est un nombre réel de lintervalle ]π;π] a) Construire image du pointsur la figure donnée en annexe 2 (à rendre avec la copie) le point D par la rotationrde centreOet dangle .
b)Justifier que le point
a pour affixe
.
3) SoientFetGles milieux respectifs des segments [BD] et [CE]. a)que le point Justifier F.a pour affixe
b)On admet que le pointGa pour affixe
Démontrer que
.
. On pourra utiliser la question1) a).
En déduire que le triangleAFGestéquilatéral. 4)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou dinitiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans lévaluation.À laide dun logiciel de géométrie dynamique, on conjecture quil existe une position du pointD, défini à la question 2, pour laquelle la longueur du cotéAFdu triangleAFGest minimale. On admet que . On considère la fonction définie sur lintervalle par . Le tableau cidessous donne les variations de la fonction sur lintervalle . Compléter ce tableau de variation. Permetil de valider la conjecture ? Justifier. x
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ANNEXE 1 (Exercice 1) (à rendre avec la copie) O
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ANNEXE 2 (Exercice 4 ) (à rendre avec la copie) (Candidats nayant pas suivi lenseignement de spécialité)