Sujet Mathématiques (obligatoire) - Série S - Bac 2014

Ministère De L'Éducation Nationale

Description

Sujet de Mathématiques (obligatoire) du bac 2014 pour la série S.

Informations

• Publié par: Fil_Bac2014
• Publié le: 19 juin 2014
• Nombre de lectures: 392
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION2014
MATHÉMATIQUES
SérieS
ÉPREUVEDUJEUDI19JUIN2014
Duréedel’épreuve:4heures Coefficient:7
ENSEIGNEMENTOBLIGATOIRE
Lescalculatrices électroniques depoche sontautorisées,
conformément àlaréglementation envigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour
aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises
en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 5 pages
numérotées de 1/5 à 5/5.
14MASCOMLR1 page1/5
OBLIGATOIREEXERCICE1(5points)
Communàtouslescandidats
PartieA
Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on désigne parC la courbe représentative de la1
fonction f définiesurRpar:1
−xf (x)=x+e1
1. JustifierqueC passeparlepoint A decoordonnées(0,1).1
2. Déterminerletableaudevariationdelafonction f .Onpréciseraleslimitesde f en+∞1 1
eten−∞.
PartieB
Z1¡ ¢
−nxL’objetdecettepartieestd’étudierlasuite(I )définiesurNpar:I = x+e dx.n n
0
³ ´→− →−
1. Dansleplanmunid’unrepèreorthonormé O ; ı ,  ,pourtoutentiernatureln,onnote
−nxC lacourbereprésentativedelafonction f définiesurRpar f (x)=x+e .n n n
Surlegraphiqueci-dessousonatracélacourbeC pourplusieursvaleursdel’entiern etn
ladroiteD d’équationx=1.
C1
CA 2
C3
C4
~ C6 D
C15
C60
O ~ı
a. Interprétergéométriquementl’intégraleI .n
b. Enutilisantcetteinterprétation,formuleruneconjecturesurlesensdevariationde
lasuite(I )etsalimiteéventuelle.Onpréciseralesélémentssurlesquelsons’appuien
pourconjecturer.
14MASCOMLR1 page2/5
bb2. Démontrerquepourtoutentiernatureln supérieurouégalà1,
Z1 ¡ ¢−(n+1)x xI −I = e 1−e dx.n+1 n
0
EndéduirelesignedeI −I puisdémontrerquelasuite(I )estconvergente.n+1 n n
3. Déterminerl’expressiondeI enfonctionden etdéterminerlalimitedelasuite(I ).n n
EXERCICE2(5points)
Communàtouslescandidats
LespartiesAetBpeuventêtretraitéesindépendamment.
PartieA
Unlaboratoirepharmaceutiqueproposedestestsdedépistagedediversesmaladies.Sonservice
decommunicationmetenavantlescaractéristiquessuivantes:
– laprobabilitéqu’unepersonnemaladeprésenteuntestpositifest0,99;
– laprobabilitéqu’unepersonnesaineprésenteuntestpositifest0,001.
1. Pourunemaladiequivientd’apparaître,lelaboratoireélaboreunnouveautest.Uneétude
statistiquepermetd’estimerque le pourcentagede personnes maladesparmila popula-
tiond’unemétropoleestégalà0,1%.Onchoisitauhasardunepersonnedanscettepopu-
lationetonluifaitsubirletest.
On note M l’évènement « la personne choisie est malade » etT l’évènement « le test est
positif».
a. Traduirel’énoncésouslaformed’unarbrepondéré.
−3b. DémontrerquelaprobabilitéP(T)del’évènementT estégaleà1,989×10 .
c. L’affirmationsuivanteest-ellevraieoufausse?Justifierlaréponse.
Affirmation:«Siletestestpositif,ilyamoinsd’unechancesurdeuxquelapersonne
soitmalade».
2. Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la probabilité qu’une per-
sonnetestéepositivementsoitmaladeestsupérieureouégaleà0,95.Ondésigneparx la
proportiondepersonnesatteintesd’unecertainemaladiedanslapopulation.
Àpartirdequellevaleurdex lelaboratoirecommercialise-t-illetestcorrespondant?
14MASCOMLR1 page3/5PartieB
La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d’un
médicament.
1. Uncompriméestconformesisamasseestcompriseentre890et920mg.Onadmetquela
masseen milligrammesd’un compriméprisau hasarddans laproductionpeutêtre mo-
2déliséeparune variablealéatoireX qui suitlaloinormaleN (µ,σ ) de moyenneµ=900
etd’écart-typeσ=7.
a. Calculerlaprobabilitéqu’uncompriméprélevéauhasardsoitconforme.Onarron-
−2diraà10 .
−3b. Déterminerl’entierpositifh telqueP(900−h6X6900+h)≈0,99à10 près.
2. La chaine de production a été réglée dans le but d’obtenir au moins 97% de comprimés
conformes. Afin d’évaluer l’efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant
unéchantillonde1000comprimésdanslaproduction.Latailledelaproductionestsup-
posée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 1000 tirages
successifsavecremise.
Le contrôle effectué a permis de dénombrer 53 comprimés non conformes sur l’échan-
tillonprélevé.
Cecontrôleremet-ilenquestionlesréglagesfaitsparlelaboratoire?Onpourrautiliserun
intervalledefluctuationasymptotiqueauseuilde95%.
EXERCICE3(5points)
Communàtouslescandidats
4 2Ondésignepar(E)l’équationz +4z +16=0d’inconnuecomplexez.
21. RésoudredansCl’équationZ +4Z+16=0.
Écrirelessolutionsdecetteéquationsousuneformeexponentielle.
2. Ondésignepara lenombrecomplexedontlemoduleestégalà2etdontunargumentest
π
égalà .
3
2Calculera sousformealgébrique. p
2EndéduirelessolutionsdansCdel’équationz =−2+2i 3.Onécriralessolutionssous
formealgébrique.
3. Restitutionorganiséedeconnaissances
Onsupposeconnulefaitque pourtoutnombrecomplexez=x+iy oùx∈Ret y∈R,le
conjuguédez estlenombrecomplexez définiparz=x−iy.
Démontrerque:
– Pourtousnombrescomplexesz etz , z z =z z .1 2 1 2 1 2 ¡ ¢nn– Pourtoutnombrecomplexez ettoutentiernaturelnonnuln, z = z .
14MASCOMLR1 page4/54. Démontrerquesiz estunesolutiondel’équation(E)alorssonconjuguéz estégalement
unesolutionde(E).
En déduire les solutions dans C de l’équation (E). On admettra que (E) admet au plus
quatresolutions.
EXERCICE4(5points)
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Dans l’espace, on considère un tétraèdre ABCD dont les faces ABC, ACD et ABD sont des
triangles rectangles et isocèles en A. On désigne par E,F etG les milieux respectifs des côtés
⌈⌊AB⌉⌋,⌊⌈BC⌋⌉et⌊⌈CA⌉⌋.
³ ´−→ −→ −→
OnchoisitAB pourunitédelongueuretonseplacedanslerepèreorthonormé A;AB,AC,AD
del’espace.
1. OndésigneparP leplanquipassepar A etquiestorthogonalàladroite(DF).
OnnoteH lepointd’intersectionduplanP etdeladroite(DF).
a. DonnerlescoordonnéesdespointsD etF.
b. Donnerunereprésentationparamétriquedeladroite(DF).
c. DétermineruneéquationcartésienneduplanP .
d. CalculerlescoordonnéesdupointH.
ƒe. Démontrerquel’angleEHG estunangledroit.
−−→ −−→
2. OndésigneparM unpointdeladroite(DF)etpart leréeltelqueDM=tDF.Onnoteα
ƒlamesureenradiansdel’anglegéométriqueEMG.
Le but de cette questionest de déterminerla positiondu pointM pour queα soit maxi-
male.
3 5 52 2a. DémontrerqueME = t − t+ .
2 2 4
b. DémontrerqueletriangleMEG estisocèleenM.
³ ´α 1
Endéduireque MEsin = p .
2 2 2
³ ´α
c. Justifierqueαestmaximalesietseulementsi sin estmaximal.
2
2EndéduirequeαestmaximalesietseulementsiME estminimal.
d. Conclure.
14MASCOMLR1 page5/5