UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Description

Niveau: Supérieur
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 2 heures Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Date : 24 mai 2007 Calculatrices non autorisees Horaire : 13h30-15h30 Exercice 1 (6p) Pour tout x reel on pose f(x) = 2x ∫ x e?t2 dt. a) Montrer que f est impaire et determiner le signe de f ?. b) Montrer que pour tout x ≥ 0, on a 0 ≤ f(x) ≤ xe?x2 . En deduire la limite de f(x) lorsque x tend vers +∞. c) Donner l'allure de la courbe representative de f . d) Montrer que la serie de terme general fn converge uniformement sur R. e) Donner le developpement en serie entiere de f au voisinage de l'origine. Quel est le rayon de convergence de cette serie entiere ? Exercice 2 (1,5p) Trouver la limite de la suite (un)n≥1 definie par un = n ∑ k=1 n k2 + 2kn + n2 . Exercice 3 (1,5p) Calculer 1 ∫ ?1 dt t? i . Exercice 4 (3p) a) Ecrire la premiere formule de la moyenne.

• arctan n?1n


• dt t?


• arctann ≤


• premiere integrale


• integrale ∫


• rayon infini


• serie de rayon infinie


• e?t2 dt


• rayon de convergence

Sujets

• Rayon de convergence

Informations

• Publié par: chaeh
• Publié le: 01 mai 2007
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

SUJET DE PARTIEL DIPLOME : Licence MI 2na´ne`em´reeeeuDt:jesudusreeu2h Analyse 2Semestre 3bisResponsable : G. Eguether LCMIN3U1C2Documentsnonautorise´s Date:24mai2007Calculatricesnonautoris´ees Horaire : 13h3015h30

2x Z 2 −t Exercice 1(6p) Pour toutxpnolesoeer´f(x) =e dt. x 0 a) Montrer quefedenmieretd´igesrlneseitpmiaertef. 2 −x b) Montrer que pour toutx≥0, on a 0≤f(x)≤xeeeEd.laletimie´dnriudf(x) lorsquextend vers +∞. c)Donnerl’alluredelacourberepre´sentativedef. n d)Montrerquelase´riedetermege´n´eralfecuonniverg´emeformrtnusR. e)Donnerled´eveloppementense´rieentie`redefau voisinage de l’origine. Quel est le rayondeconvergencedecettese´rieenti`ere? n X n Exercice 2(1,5p) Trouver la limite de la suite (u n ) n≥1 epniefid´rau n = . 2 2 k+ 2kn+n k=1 1 Z dt Exercice 3.(1,5p) Calculer t−i −1 Exercice 4enneam(oy.ofere`imledelumrcr)E)a3preapelir 2 n+n Z x arctan n b) Calculer la limite de la suite (u n ) n≥1 apeirdfin´eu n =dx. x 2 n Exercice 5(,4p5a)E)utleer´rebmontuotruopreidαegralnt´elei’cndereegocvnlaulnnno ∞ Z dx I α =. α−1 1/α x(x−1) 1 b) CalculerI 2 en utilisant le changement de variablet=x−1. Exercice 6(4,5plete´hoea)E)rcriveonenrgemr`eced.eeodec´nim ∞ Z n−1 arctanx n b) Montrer que la suite (u n ) n≥1 aprnfieide´u n =dxconverge et calculer 2 1 +x 0 sa limite.