UTBM analyse numerique elementaire 2006 gm mt40 genie mecanique et conception semestre 1 final

Description

Utbm mt40 Examenfinal Automne2006Nb: On rédigera les exercices sur des feuilles séparées.Exercice1 Intégration gaussienneOnconsidèrelesintégrales I et I définiespar:1 2 1 1sin(x) cos(x)I = √ dx et I = √ dx.1 22 21−x 1−x−1 −11.1 Démontrerque I et I existentetpeuventêtrecalculéesparméthodegaussienne. Laquelle?1 21.2 Onchoisit,pourcettequestion,d’utiliseruneméthoded’intégrationgaussienneàtroispoints.a) Déterminerlesupportd’intégration {x ,x ,x }. Quereprésentecesupport,géométriquement?0 1 2b) Valeurs approchées de I et I1 2Fournirunevaleurapprochée V de I etunevaleurapprochée V de I .1 1 2 2c) Erreur de méthode• Montrerquelavaleurapprochée V estexacte.1Cettepropriétéde I segénéraliserait-elleavecunplusgrandnombredepointsdesupport?1• Fournirunemajorationdelavaleurabsoluedel’erreurdeméthodecommisedansl’évaluationdeI .2Endéduireunintervallecontenantcertainement I .21.3 Fournirunetablequi,enfonctiondel’entiernaturelnélémentde{1,...,5},fournitunmajorantde|E |,noù E désignel’erreurdeméthodecommiseenintégrationgaussienneà npoints,dansl’évaluationdenI .2Nb: Ons’attacheraàtrouverunerelationliantlesmajorantsde|E |et|E |,envued’uneinformatisationn n+1éventuelledutraitementdecettequestion.Exercice2 Equations non linéairesSoit Aunréelélémentde I = ]1,+∞[. Onconsidèrel’équation (E) : f(x) = 0,où f estdéfiniepar2f(x) =x −A.L’objetdel’exerciceestdedéterminerunevaleurapprochéedelasolutionpositivede(E)parl’intermédiaired’uneéquation”approchée”.2.1 Existence et ...

Informations

• Publié par: shura
• Nombre de lectures: 301
• Langue: Français

Extrait

Utbm mt40Examen final Nb: Onrédigera les exercices sur des feuilles séparées.

Automne 2006

Exercice 1 Intégration gaussienne On considère les intégralesI 1 etI 2 définies par:   1 1 sin(x) cos(x) I 1 = √ dxetI 2 = √ dx. 2 2 −1 1−x −1 1−x 1.1Démontrer queI 1 etI 2 existent et peuvent être calculées par méthode gaussienne.Laquelle? 1.2On choisit, pour cette question, d’utiliser une méthode d’intégration gaussienne à trois points. a)Déterminer le support d’intégration{x 0 , x 1 , x 2 }. Quereprésente ce support, géométriquement? b)Valeurs approchées deI 1 etI 2 Fournir une valeur approchéeV 1 deI 1 et une valeur approchéeV 2 deI 2 . c)Erreur de méthode •Montrer que la valeur approchéeV 1 est exacte. Cette propriété deI 1 se généraliserait-elle avec un plus grand nombre de points de support? •Fournir une majoration de la valeur absolue de l’erreur de méthode commise dans l’évaluation de I 2 . En déduire un intervalle contenant certainementI 2 . 1.3Fournir une table qui, en fonction de l’entier naturelnélément de{1, ...,5}, fournit un majorant de|E n |, oùE n désigne l’erreur de méthode commise en intégration gaussienne ànpoints, dans l’évaluation de I 2 . Nb: Ons’attachera à trouver une relation liant les majorants de|E n |et|E n+1 |, en vue d’une informatisation éventuelle du traitement de cette question.

Exercice 2 Equations non linéaires SoitAun réel élément deI= ]1,+∞[considère l’équation. On(E) :f(x) = 0, oùfest définie par 2 f(x) =x−A. L’objet de l’exercice est de déterminer une valeur approchée de la solution positive de(E)par l’intermédiaire d’une équation ”approchée”.

2.1Existence et unicité de solution surI

•EtudierfsurIet montrer que(E)admet une solution unique, notéel, dansI. •Tracer la courbe représentative(C)defdans un repère du plan.

2.2Equation approchée de(E)

Soitα, βdeux éléments donnés, distincts ou non, deI.

a)Déterminer le polynômep 1 qui interpolefsur le support{α, β}.

1