UTBM analyse numerique elementaire 2007 gm mt40 genie mecanique et conception semestre 1 final

Description

Utbm mt40 Examen final Automne 2007Nb: On rédigera les exercices sur des feuilles séparées. On pourra admettre tout résultatintermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.Exercice 1Le but de cet exercice est d’approximer la fonction logarithme népérien, notée ln, par différentes méthodesnumériques.1.1 Polynôme d’interpolationa) Donner la forme de Newton du polynôme d’interpolation de la fonction ln sur le support{1,2}.b) On considère la fonction erreur e , définie par e (x) = ln(x)−p(x).1 1Étudier les variations de e sur [1,2].1En déduire que l’erreur est maximale, en valeur absolue, pour x = 1/ln(2); donner la valeur maximalede e sur [1,2].11.2 Méthode du point milieuPour la suite du problème on rappelle que la fonction ln est définie par:x 1ln(x) = dtt1Nb : On remarquera ici que la variable d’intégration est t et non x; la variable x, elle, définit le segmentd’intégration !a) Montrer en utilisant la méthode d’intégration du point milieu, que : x 1 x−1dt≃ 2t x+11b) Étudier les variations de la fonction erreur e , définie sur [1,2] pour cette méthode par :Mx−1e (x) = ln(x)−2 .Mx+1c) En déduire la valeur maximale de e sur [1,2].M1.3 Intégration gaussienne x 1Maintenant on cherche à évaluer ln(x) = dt par une intégration de Gauss-Legendre à deux points.1 ta) Montrer en précisant le changement de variable à réaliser que : x 11 x−1dt = dut (x−1)u+x+11 −1b) En déduire, en majorant l’erreur de méthode e commise dans l’évaluation de ...

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Utbm mt40Examen finalAutomne 2007 Nb: Onrédigera les exercices sur des feuilles séparées. On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.

Exercice 1 Le but de cet exercice est d’approximer la fonction logarithme népérien, notéeln, par différentes méthodes numériques. 1.1Polynôme d’interpolation a)Donner la forme de Newton du polynôme d’interpolation de la fonctionlnsur le support{1,2}. b)On considère la fonction erreure 1 , définie pare 1 (x) = ln(x)−p(x). Étudier les variations dee 1 sur[1,2]. En déduire que l’erreur est maximale, en valeur absolue, pourx= 1/ln(2); donner la valeur maximale dee 1 sur[1,2]. 1.2Méthode du point milieu Pour la suite du problème on rappelle que la fonctionlnest définie par:  x 1 ln(x) =dt t 1 Nb :On remarquera ici que la variable d’intégration esttet nonx; la variablex, elle, définit le segment d’intégration ! a)Montrer en utilisant la méthode d’intégration du point milieu, que :  x 1x−1 dt≃2 t x+ 1 1

b)Étudier les variations de la fonction erreure M , définie sur[1,2]pour cette méthode par : x−1 e M (x) = ln(x)−2. x+ 1

c)En déduire la valeur maximale dee M sur[1,2]. 1.3Intégration gaussienne  x 1 Maintenant on cherche à évaluerln(x) =dtpar une intégration de Gauss-Legendre à deux points. 1 t a)Montrer en précisant le changement de variable à réaliser que :   x1 1x−1 dt=du t(x−1)u+x+ 1 1−1

b)En déduire, en majorant l’erreur de méthodee G commise dans l’évaluation deI, que cette méthode −2 donne une approximation deln(x)à10près sur[1,2].

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