ersible
1.
ecteurs
2005
:
Mercredi
aleur
18
les
jan
son
vier
Soit
2006
et
Final
Soit
de
v
l'UV
matrice
MT31
les
Dur
t
é
son
e
Ev
:
v
2
déduire
heures
à
.
propres
Une
En
feuille
A4
ourquoi
.
seul
t
de
la
notes
Retrouv
autorisée.
A
les
autorisée.
gra
Seules
par
les
l'in
explications
par
matrice
et
matrice
précises
5.
seron
haque
t
prises
domaine
en
par
les
lors
propre.
de
la
propres
3.
Les
diagonalisable.
2.
1,
propres
2
ter
et
domaine
3
Quelle
son
aleur
t
?
indép
en
endan
dénition,
ts.
de
3.
1
ordonnées
Soit
tre
le
domaine
matrice
Automne
1
Chamoret
aluer
déni
tégrale
par
dénie
:
:
Dominique
in
et
la
obtenir
diagonale
our
la
p
En
oissant
propre.
v
dé
e
dr
2
l'or
le
dans
asso
tel
déni
que
:
es
v
opr
déduire
pr
4.
valeurs
aleur
les
haque
a
à
anger
asso
r
sous-espaces
on
Déterminer
:
?
1.
P
Représen
est
ter
La
graphiquemen
et
t
de
le
aleurs
domaine
Représen
que
graphiquemen
emar
le
.
v
Quelle
.
est
Déterminer
la
v
v
de
aleur
aire
de
2.
son
er,
aire
utilisan
?
la
2.
1.
Retrouv
l'aire
er,
Partie
en
.
utilisan
Déterminer
t
la
de
dénition,
R
de
:
vité.
l'aire
3
de
la
que
de
telles
donnée
.
3.
est
D1
2D = (x,y)∈R |x|+|y|6 21
D1
A D1 1
I ZZ
1(x+y)
2I = e dx dy
D1
D2
2 2 2D = (x,y)∈R |x +y 6 1, |y|6x, x> 02
D2
A D2 2
M (R)3 −4 −6 0 A = 3 5 0
3 6 5
A
A
−1D Q A = Q D Q
0 1 −2 1 2 1
−1 Q = 0 −1 1 Q = −1 −2 0
1 1 0 −1 −1 0suiv
de
ec
B
se
On
que
se
trer
prop
les
ose
v
de
nalemen
résoudre
alen
le
t
système
(1),
diéren
ose
tiel
an
suiv
initiales
an
(1)
t
trois
:
En
Chamoret
tes
Dominique
suiv
.
où
système
système
du
2
solution
les
la
tenan
Donner
v
5.
initiales
.
:
Donner
4.
(d)
les
(3).
(3)
(2),
tes
(1),
diéren
équations
résoudre
des
qu'il
1.
système
de
est
,
à
,
solutions
a
les
:
déduire
équiv
En
le
(c)
2.
hoisi.
(2),
équations
t
résoudre
t
degré
main
de
a
nôme
ec
oly-
p
suiv
d'un
tes
forme
prop
la
On
sous
.
particulière
solution
ec
une
a
her
(2)
herc
:
an
(3),
tielles
(2),
équations
(1),
les
équations
t
des
faut
déduire
3.
our
Vérier
P
le
(b)
:
an
asso
équiv
homogènes
t
équations
:
les
initiales
résoudre
les
(3),
v
(2),
et
(1),
Partie
équations
à
des
alen
est
où
our
que
P
Mon
(a)
et
).
(3
x˙ (t)−4x (t)−6x (t) = 8t+11 1 2
(S) x˙ (t)+3x (t)+5x (t) =t2 1 2
x˙ (t)+3x (t)+6x (t)+5x (t) = 63 1 2 3
x (0) = 01
(CI ) x (0) = 0x 2
x (0) = 03
(S)
˙X(t)+A X(t) = Φ(t),
x˙ (t) x (t) 8t+11 1
˙ X(t) = x˙ (t) X(t) = x (t) Φ(t) = t2 2
x˙ (t) x (t) 63 3
(S)
˙Y(t)+D Y(t) = Ψ(t),
−1 −1Y(t) = Q X(t) Ψ(t) = Q Φ(t)
y (0) = 01
(CI ) y (0) = 0y 2
y (0) = 03
y˙ (t)+5y (t) = 10t+71 1
y˙ (t)+2y (t) = −10t−12 2
y˙ (t)−y (t) = −9t−13 3
(CI )y
y y y1 2 3
Y
X (S)utilisan
Automne
graphiquemen
2005
en
Mercredi
a
18
1
jan
vier
précéden
2006
par
Co
.
rrection
graphique
du
ts
nal
en
de
déduit
l'UV
te,
MT31
la
Dur
:
é
v
e
2.
:
t
2
On
heures
Représen
.
T
Une
PSfrag
feuille
déduit
A4
,
:
seul
et
de
on
notes
,
autorisée.
question
t
autorisée.
En
Corr
dénition
e
ons
1
Nous
1.
et
Représen
que
tation
,
graphique
de
de
Chamoret
tation
.
On
ab.
a
la
replacemen
situation
et
suiv
:
an
,
te
On
:
et
1
Dominique
D
x> 0 y > 0 x+y6 2 ⇒ y6 2−x
x> 0 y < 0 x−y6 2 ⇒ x−26y
x< 0 y > 0 −x+y6 2 ⇒ y6 2+x
x< 0 y < 0 −x−y6 2 ⇒ −x−26y
06x6 2 ⇒ x−26y6 2−x
−26x6 0 ⇒ −x−26y6 2+x
y
−2 x2
D
A(D) = 8
ZZ
A(D) = dx dy
D
ZZ
A(D) = dx dy
D Z Z Z Z0 2+x 2 2−x
= dy dx+ dy dx
−2 −x−2 0 x−2Z Z0 2
= (2x+4) dx+ (4−2x) dx
−2 0 Z Z0 2
= 2 (x+2) dx+ (2−x) dx
−2 0
= 8xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
a
que
Nous
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
a
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
v
Représen
ons
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
par
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
dénition
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
:
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
3.
domaine
Chamoret
e
Dominique
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
:
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
donc
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
a
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
On
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
et
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
que
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
tels
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
et
On
olaires.
graphique
p
2
ordonnées
:
2
en
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
passe
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
on
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
l'aire,
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
déterminer
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
our
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
P
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
2.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
de
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
graphique
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
tation
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Représen
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
2
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
ab.
.
T
ts
.
replacemen
du
PSfrag
tation
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
1.
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Corr
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
donc
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
On
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
ZZ
1(x+y)
2I = e dx dy
D Z Z Z Z0 2+x 2 2−x
1 1(x+y) (x+y)
2 2= e dy dx+ e dy dx
−2 −x−2 0 x−2Z Z0 2
1 1 1 1 1 1x x+1 − x−1 x 1− x x−1
2 2 2 2 2 2= 2 e e −e dx+2 e e −e dx
−2 0 Z Z0 2
x+1 −1 x−1= 2 (e −e ) dx+ (e−e )dx
−2 0h i 0 2x+1 −1 x−1
= 2 e −e x +[ ex−e
−2 0
−1 −1
= 2e−6e +2e+2e
1
= 4(e− )
e
1
I = 4(e− )
e
πD A =2 2 4
y
x
D
π 7π2 2 2D = (x,y)∈R |x +y 6 1, |y|6x, x> 0 ⇔U = (r,θ) 06r6 1 θ∈ [0, ]∪[ ,2π]2 2
4 4
ZZ
A = dx dy2
D2ZZ
= r dr dθ
U2Z π Z Z Z1 2π 1
4
= r dr dθ+ r dr dθ
7π0 0 0
4
π Z Z1 12π2 2
4 r r
= dθ+ dθ
2 7π 20 0 0
4
π
=
4la
aleurs
a
P
aleurs
ar
ons
dénition,
Le
nous
a
a
par
v
e
ons
3
:
3.
:
Chamoret
trois
Dominique
:
:
1.
déduit
de
en
3
On
:
a
:
trois
que
tel
p
he
2.
herc
propres
v
On
donc
.
On
(a)
propres
propres.
V
Sous-espaces
:
3.
donnée
diagonalisable.
matrice
t
Soit
forcemen
donc
Corr
est
aussi
matrice
v
La
Nous
ZZ
1
x = x dx dyG
A2
D2ZZ
1 2= r cosθ dr dθ
A2
U2Z π Z Z Z1 2π 1
44 2= r cosθdr dθ+ cosθ dr dθ
7ππ 0 0 0
4" # Z π Z13 2π
44 r
= cosθ dθ+ cosθ dθ
7ππ 3 00 4√
4 2
=
3π
ZZ
1
y = y dx dyG
A2
D2ZZ
1 2= r sinθ dr dθ
A2
U2Z π Z Z Z1 2π 1
44 2
= r sinθdr dθ+ sinθ dr dθ
π 7π0 0 0
4" # Z π Z1 2π3
44 r
= sinθ dθ+ sinθ dθ
π 3 7π00
4√
4 2
=
3π
M (R)3 −4 −6 0 A = 3 5 0
3 6 5