UTBM mathematiques pour l image 2008 gi

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Utbm mt51 Examen médian Printemps 2008Exercice 1 Etudedeproduits scalaires duplan vectoriel V22On rappelle que pour tout triplet de réels (a,b,c) vérifiant : a > 0 et b −ac < 0, on définit un produitscalaire ϕ surV via la relation :2(a,b,c)(u ,v ),(u ,v ) = au u +b(u v +v u )+cv v .1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2Un triplet (a,b,c) vérifiant les propriétés indiquées sera ultérieurement dit licite.1.1 Signification des produits scalaires ϕ(a,b,c)a) Montrer que le produit scalaire euclidien ordinaire fait partie de la famille décrite ci-dessus.b) Décrire brièvement une situation des métiers de l’image qui conduit à l’utilisation d’autres produitsscalaires.1.2 Orthogonauxdevecteursdonnésausensde ϕ(a,b,c)a) On donne pour cette sous question seulement :a = 1; b = 2; c = 8.• Vérifier que cette donnée définit un produit scalaire licite ϕ .(1,2,8)⊥• Déterminer alors [(1,−1)] ensemble des vecteurs deV orthogonaux à (1,−1), au sens du produit2scalaire associé aux réels a, b, c choisis.b) On suppose pour la suite, avoir démontré que pour tout triplet (a,b,c) licite, l’orthogonal du vecteur nonnul (u,v) est donné par :⊥[(u,v)] ={x.(−(bu+cv),au+bv) / x∈R}.1.3 Etudesd’orthogonauxpour un ϕ donné(a,b,c)On choisit de nouveau pour cette sous question, le produit scalaire ϕ .(1,2,8)⊥a) Déterminer [(1,0)] .⊥b) Déterminer [(0,1)] .⊥c) Déterminer [(1,−1)] . d) Dans le plan vectoriel V ,ϕ , on souhaite étudier des relations angulaires, donc on considère de2 (1,2,8)façon ...

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Utbm mt51Examen médianPrintemps 2008 Exercice 1 Etude de produits scalaires du plan vectoriel V 2 2 On rappelle que pour tout triplet de réels(a, b, c)vérifiant :a >0etb−ac <0, on définit un produit sur elation: scalaireϕ ,b,c) V 2 via la r (a (u 1 , v 1 ),(u 2 , v 2 )=au 1 u 2 +b(u 1 v 2 +v 1 u 2 ) +cv 1 v 2 . Un triplet(a, b, c)vérifiant les propriétés indiquées sera ultérieurement dit licite. 1.1Signification des produits scalairesϕ (a,b,c) a)Montrer que le produit scalaire euclidien ordinaire fait partie de la famille décrite ci-dessus. b)Décrire brièvement une situation des métiers de l’image qui conduit à l’utilisation d’autres produits scalaires. 1.2Orthogonaux de vecteurs donnés au sens deϕ (a,b,c) a)On donne pour cette sous question seulement : a= 1;b= 2;c= 8. •Vérifier que cette donnée définit un produit scalaire liciteϕ. (1,2,8) ⊥ •Déterminer alors[(1,−1)]ensemble des vecteurs deV 2 orthogonaux à(1,−1), au sens du produit scalaire associé aux réelsa,b,cchoisis. b)On suppose pour la suite, avoir démontré que pour tout triplet(a, b, c)licite, l’orthogonal du vecteur non nul(u, v)est donné par : ⊥ [(u, v)] ={x.(−(bu+cv), au+bv)/ x∈R}. 1.3Etudes d’orthogonaux pour unϕdonné (a,b,c) On choisit de nouveau pour cette sous question, le produit scalaireϕ. (1,2,8) ⊥ a)Déterminer[(1,0)]. ⊥ b)Déterminer[(0,1)]. ⊥ c)Déterminer[(1,−1)].   , on souhaite étudier des relations angulaires, don d)Dans le plan vectorielV 2 , ϕ (1,2,8) c on considère de façon simultanée, le produit scalaire euclidien ordinaire. ⊥ d1)Etude de[(1,0)] ⊥ •Montrer que tous les vecteurs non nuls de[(1,0)]forment un angle de même mesureα 1 , au signe près, avec(1,0). •Déterminerα 1 . d2)Mêmes questions adaptées pourα 2 lié à(0,1). d3)Mêmes questions adaptées pourα 3 lié à(1,−1). d4)Comparerα i . Est-ce étonnant géométriquement, au sens des remarques effectuées au 1.1 b). 1.4Approche inverse Dans le cadre d’une étude d’analyse d’image, on considère une image (plane...)produite lors d’un traitement donné sur le monde réel.On se propose d’interpréter des orthogonalités dans le monde réel par un produit scalaire judicieusement choisi dans le plan de l’image produite. .../...

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