Bac mathematiques 2009 s

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--d----p-ł-Łd-d--Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009 Exercice 1. C ommun à tous les candidats. (5 p oints) r rO,u ,vLe plan est rapporté à un repère orthonormal direct d’unité graphiqu1 ce m. ( )z = 1 ; z = 3 + 4iOn considère les points A et B d’ affixes respectives .A Bz = 2 3 + i 2 3 ; z = 2 +3 i + 2 3Soit C et D les points d’affixes respectives .( ) ( )C DL’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des poCi.nts D et 21. a.M ontrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’ang lees t le point D.3b.E n déduire que les points B et D sont sur un cercle C de centre A dédotnetrm onine ra le rayon.31. Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport .2za. Montrer que l’affixe du point F est −2i.Fb. Montrer que le point F est le milieu du segment [CD].z zC F = i 3c.M ontrer que .z zA Fz zC FEn déduire la forme exponentielle de .z zA FDéduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiadu streigmce ent [CD].3. Proposer un programme de construction pour les points D et C à partirpoi dents s A, B et F et réaliser la figure.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplete, serac omprispte e dansen l ’evaluation. Exercice 2 C an didats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité ( 5 p o ints) r r rO,i ,j k,L’espace est rapporté au repère orthonormal .( )2 2 1? ?E ; ;On considère les pointsA:( 4;0;0),B(0;2;0), ...

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Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009

 Exercice 1 .      Comà tomun sec sul adstnaid .        (5 points)

r r Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct O,u,v d’unité graphique 1 cm. On considère les points A et B d’ affixes respectives z A 1 ;z B 3 4 i . Soit C et D les points d’affixes respectives z C 2 3 i 2 3 ;z D 2 3 i 2 3 . L’ objet de l’exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C. 1. a.Montrer que l’image du point B par la rotation de centre A et d’angle 2 est le point D. 3 b. le rayon.En déduire que les points B et D sont sur un cercle C centre A dont on déterminera de

1.

3 Soit F, l’image du point A par l’homothétie de centre B et de rapport . 2

a. Montrer que l’affixe z F  du point F est −2i. b. que le point F est le milieu du segment [CD].Montrer z C z F .Montre ue i 3 . cr q z A z F z C z F En déduire la forme exponentielle de . z A z F Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].

3.D et C à partir des points A, B et F etProposer un programme de construction pour les points réaliser la figure. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplete, sera prise en compte dans l ’evaluation.

 Exercice 2      enemesgi epstnd litéécia dnaCtadi’n snayapat sus i ivenl’          (  5 points)  

r r r L’espace est rapporté au repère orthonormal O,i,j,k . 1 On considère les points: A(4;0;0),   B(0;2;0),   C(0;0;3) et E 2 ; 2 ; 3 3 9 On se propose de déterminer de deux façons la distance E du point E au plan (ABC). RAPPEL : ax by cz d 0

.

Soit (P) un plan d’équationa, b, cetdnombres réels avec,a, betcnon tous nuls et ax M by M cz M d   M  . est :du ) M x M ;y M ;z M  point, la distanceMau plan (P 2 b 2 2 a c 1) a.Montrer que les points A, B etC déterminent bien un plan. b. Soit n r  le vecteur de coordonnées (3; 6; 4). r Montrer que n est un vecteur normal au plan (ABC). c. Montrer qu’une équation du plan (ABC) est: x 6 y 4 z 1 2 0 . d. Déduire des questions précédentes la distance E .