Baccalaureat 2004 mathematiques sciences economiques et sociales recueil d'annales

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[BaccalauréatES2004\ L’intégraledeseptembre2003 àjuin2004 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2003 ..................... 3 Franceseptembre2003 ............................... 8 Polynésie(obligatoire)septembre2003 ............. 13 AmériqueduSudnovembre2003 ................... 17 Nouvelle-Calédonienovembre2003 ................21 Nouvelle-Calédoniemars2004 ......................25 Pondichéry31mars2004 ............................28 AmériqueduNordjuin2004 .........................32 Antilles-Guyanejuin2004 ........................... 39 Asiejuin2004 ........................................44 Centresétrangersjuin2004 ..........................48 Francejuin2004 .....................................55 LaRéunionjuin2004 .................................60 Libanjuin2004 .......................................66 Polynésiejuin2004 .................................. 722BaccalauréatESAntillesseptembre2003 EXERCICE 1 9points Communàtouslescandidats Lebutdecetexerciceest l’étude d’unefonction définiepartiellement parsarepré- sentationgraphique;onconsidèrelafonction f définiesurpar: f(x)=ax+bxln(x)−1, oùa etb sontdeuxréelsnonnuls. LacourbereprésentativeC delafonction f surl’intervalle ]0;2]estdonnéeenan- nexe(àrendreaveclacopie). PartieA 1. a. Déterminergraphiquement f(1). b. Endéduirequea=3.³ ´ 3 3 − −2 22. Onsaitque f e =−6e −1. Endéduirelavaleurdeb. Danslasuiteduproblèmelafonction f estdéfiniesur]0;+∞[par: f(x)=3x+6xln(x)−1. PartieB 1. Déterminerleslimitesdelafonction f en0eten+∞. (Onpourrautiliserlerésultatsuivant: limxln(x)=0.) x→0 2. a. Onadmetque f estdérivablesur]0;+∞[;montrerquepourtout x∈]0;+∞[, f(x)=9+6ln(x). ′b. Étudier le signe de f et en déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle]0;+∞[. 3. a. Déterminerl’équationdelatangenteD àlacourbeC aupointd’abscisse 1. b. Tracer en couleur la droiteD sur la figure de l’annexe ainsi que la tan- 3 −2genteaupointd’abscissee . PartieC Sur la figure de l’annexe, les graduations représentent 1 unité en ordonnée et 0,1 unitéenabscisse. 1. Combiend’unitésd’airereprésenteuncarreau? Envousappuyantsurlafiguredel’annexe,donnerunencadrementd’ampli-Z2 tudeinférieureouégaleà2del’intégrale f(x)dx. 1 2. Onconsidèrelafonction g définiesur]0;+∞[par: 2g(x)=3x ln(x). ′a. On admet que g est dérivablesur ]0 ; +∞[; déterminer la dérivée g de g.TerminaleES L’intégraledeseptembre2003àjuin2004 Z2 b. Endéduireuneprimitivede f sur]0;+∞[etcalculer f(x)dx. 1 −1Donnerunevaleurapprochéedurésultatà10 près. y 1 1 xO 0,1 2 EXERCICE 2 6points Dansune fête foraine, Julie décidede jouer à un jeu dontchaque partie se déroule delafaçonsuivante: • Elletireunjetondansuneurnecontenant7jetonsrougeset2bleus. • S’ilestbleuellegagne,sinon,sansremettrelepremierjetontiré,elleentireun deuxième. • S’ilestbleuellegagne,sinon,sansremettrelesdeuxprécédents,elleentireun troisième. • S’ilestbleuellegagne,sinonelleaperdulapartie. 1. Pourlescalculssuivants,onpourras’aiderd’unarbrepondéré. Lesrésultatsserontdonnéssousformedefractionsirréductibles. a. Déterminerlesprobabilitésdesévènementssuivants: • A:«Juliegagneenuntirageexactement»; • B:«Juliegagneendeuxtiragesexactement»; • C:«Juliegagneentroistiragesexactement». b. Calculerlaprobabilitédegagneràcejeu. 2. On suppose dans la suite de l’exercice qu’à chaque partie la probabilité de 7 gagnerest . 12 Àchaquepartiegagnée,Juliegagne1ticket.Ellearemarquéunjolipetitour- sonenpeluchequ’ellepeutobteniravecaumoins3tickets. Elledécidedoncd’effectuerquatrepartiesconsécutives. Onsupposequelespartiessontindépendantes. Onappellek lenombredeticketsgagnésparJulielorsdesquatrepartieseton noteraP(A)laprobabilitédel’évènementA. −3a. MontrerqueP(k=2)≈0,354à10 près. −3b. Ondonne,à10 près: P(k=0)≈0,030; P(k=1)≈0,169; P(k=3)≈0,331; P(k=4)≈0,116. Déterminer la probabilité pour que Julie reparte avec l’ourson à l’issue desquatreparties. Antilles-Guyane 4 septembre2003TerminaleES L’intégraledeseptembre2003àjuin2004 3. Lamisepourquatrepartiesestde5€. Les gains sont des bibelots dont la valeur, en fonction du nombre de tickets gagnés,estdonnéedansletableauci-dessous: Nombredetickets 0 1 2 3 4 Valeurdugain(en€) 0 0,75 0,75 6 10 OnappelleG legaindeJulie,c’est-à-direcequ’ellegagnecomptetenudeses mises. a. QuellessontlesdifférentesvaleursprisesparG? b. DéterminerlaloideprobabilitédeG (onpourrautiliserlesrésultatsdon- nésàlaquestion2). c. Calculer l’espérance mathématique de G et commenter le résultat ob- tenu. EXERCICE 3 5points Enseignementobligatoire La part des femmes élues maires de 1947 à 2001 est donnée en pourcentage par le tableausuivant: Année 1947 1953 1959 1965 1971 1977 1983 1989 1995 2001 Rangx 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9i Party (%) 0,7 0,8 1 1,1 1,7 2,6 4 5,5 7,6 11,3i Pourtoutl’exercice,lesdétailsdescalculsstatistiquesnesontpasdemandés. 1. Représenter le nuage de points associé à cette série statistique (x ; y ) dansi i unrepèreorthonormé(unités:1cm). 2. Donneruneéquationdeladroited’ajustementaffinedey enxparlaméthode desmoindrescarrés(lescoefficientsserontarrondisaucentième). Tracercettedroitesurlegraphiqueprécédent. 3. Ensupposant quecetajustement restepertinent jusqu’en 2007, calculerune estimationdelapartdesfemmeséluesmairesen2007. 4. Laformedunuagedepointslaissepenserqu’unautreajustement seraitpré- férable.Pourcela,onposez=lny,oùlnestlafonctionlogarithmenépérien. a. Faire un tableau faisant apparaître les valeurs x et les valeurs z= lny, arrondiesaucentième. b. Donner une équation de la droite d’ajustement affine de z en x par la méthodedesmoindrescarrés,lescoefficientsétantarrondisaucentième. 0,32xc. Endéduirel’ajustement y=0,54e . d. Ensupposantquecetajustementrestepertinentjusqu’en2007,calculer uneestimationdelapartdesfemmeséluesmairesen2007. EXERCICE 3 5points Enseignementdespécialité Lafiguredonnéeenannexe(àrendreaveclacopie)représenteunepyramideSABCD desommetS. Ondonnelescoordonnéesdespointssuivantsdansunrepèreorthonormal³ ´ →− →− →− O, ı ,  , k : S(0;0;5);A(0;2;0);B(2;0;0);C(0;−2;0);D(−2;0;0);M(0;1;0). Antilles-Guyane 5 septembre2003TerminaleES L’intégraledeseptembre2003àjuin2004 1. DémontrerquelabaseABCDdelapyramideestuncarré. 2. a. Sansaucuncalcul,donneruneéquationduplancontenantlespointsA, B,CetD. b. Détermineruneéquationduplan(ABS). 3. a. Vérifierqueleplan(BCS)admetpouréquation:5x−5y+2z=10. b. PlacerlepointN(1;−1; 1).Est-ildansleplan(BCS)? 4. a. DétermineruneéquationduplanR parallèleauplan(BCS)passantpar lepointM. b. DessinerlestracesduplanR surlesplans(xOy),(yOz)et(xOz). Antilles-Guyane 6 septembre2003TerminaleES L’intégraledeseptembre2003àjuin2004 Annexe z S →− k D C O →− M →− Aı yB x Antilles-Guyane 7 septembre2003BaccalauréatESFranceseptembre2003 Exercice1 6points Communàtouslescandidats PartieA Soitlafonction f définiesur]0;+∞[par 2f(x)=x +4−8lnx. 1. Étudierleslimitesde fen0eten+∞. 2. a. Déterminer la dérivée de f et en déduire le sens de variation de f sur ]0;+∞[. b. Dresserletableaudevariationsde f .Endéduirelesignede f sur]0;+∞[. 3. a. MontrerquelafonctionG défmiesur]0;+∞[par G(x)=xlnx−x estuneprimitivedelafonction x7!lnx sur]0;+∞[. b. EndéduirelaprimitiveF de f sur]0;+∞[vérifiantF(1)=0. PartieB Le cours d’une action cotée en bourse, exprimé en dizaines d’euros, est égal à erf(x),où x représentelenombredemoisécoulésàpartirdu1 décembre2001. On ax∈[1; 12]. 1. Un investisseur décide d’acheter 2500 actions de ce type. En quel mois de l’année 2002 est-il le plus judicieux pour lui d’acheter? Calculer sa dépense arrondieàl’euro. 2. a. Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [1; 11]; on en donnera unarrondià0,1. b. Quelleinterprétationéconomiquepeut-ondonnerdecerésultat? Exercice2 5points Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité −2Danstoutcetexercicelesrésultatsserontarrondisà10 . Uneétudestatistiqueeffectuéesurunproduitadonnélesrésultatssuivantsoù x désigneleprixunitaireeneuros, y désignelademandeenmilliersd’unités z désignel’offreenmilliersd’unités. x 1,5 2,5 3,5 4,5 5 7 8,5 y 8,4 5,3 3,9 3,1 2,8 2,1 1,7 z 0,75 1,25 1,75 2,25 2,5 3,5 4,25 1. a. Vérifierquelaquantitéoffertez estproportionnelleauprixunitairex. b. Onappelle g lafonctionoffreainsidéfiniesur[1;10]par z=g(x). Représenter g danslerepèreorthonormalR (unitégraphique1cm). 2. a. Représenter, dans le repèreR, le nuage de points associé à la série sta- tistique(x ; y).TerminaleES L’intégraledeseptembre2003àjuin2004 b. DonneruneéquationdeladroiteDd’ajustement affinede y en x parla méthodedesmoindrescarrés(aucuncalculn’estexigésurlacopie). TracerDdanslerepèreR. c. À l’aide de cet ajustement, calculer le prix unitaire d’équilibre (c’est-à- direceluipourlequell’offreestégaleàlademande).Vérifiergraphique- ment. 3. Onseproposededéterminerunautretyped’ajustementpourcettesérie. a. Recopieretcompléterletableausuivant: X=lnx 0,41 1,25 Y =lny 2,13 b. Onadmetqu’ilestjustifiédeconsidérerunajustementaffinedeY enX. Donneruneéquationdeladroited’ajustementaffinedeY en X.. −0,92lnx+2,51c. Endéduirequel’ona y=e etcalculerleprixunitaired’équi- libreobtenuaveccenouvelajustement. Exercice2 5points Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité Lesquestions2et3sontindépendantes. Une entreprise fabrique deux produits E et F en quantités respectives x et y expri- méesentonnes,pourlesquelleslecoûtdeproductionz estdonnépar 2 2z=x +2y −6x−4y+13. oùz estexpriméenmilliersd’eurosavecx∈ [0;7]et y∈ [0;7]. 1. Lasurfacereprésentantcecoûtestdonnéedanslerepèredel’espacesituésur lafeuillefournieenannexequiserarendueaveclacopie. a. PlacersurcettesurfacelepointAd’abscisse4etd’ordonnée6. b. Donner graphiquement un encadrement d’amplitude 10 de la cote du pointA. c. Vérifierparlecalcul. 2 22. a. Montrerquel’onaz=(x−3) +2(y−1) +2. b. Endéduirela productionpourlaquelle cecoûtest minimal. Quelest ce coûteneuros? c. PlacerlepointBcorrespondantàcetteproductionsurlasurface. 3. L’entreprise doit fabriquer une quantité x du produit E et une quantité y du produitFaveclacontrainte x+y=7. a. Vérifierquez peuts’écriresouslaformez=g(x)avecx∈ [0;7]et 2g(x)=3x −30x+83. b. Déterminerlavaleurdex pourlaquelle g admetunminimum. Quel