Baccalaureat 2006 mathematiques sciences economiques et sociales recueil d'annales

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[BaccalauréatES2006\ L’intégraledeseptembre2005 àjuin2006 Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus Antilles-Guyaneseptembre2005 ..................... 3 Franceseptembre2005 ............................... 8 AmériqueduSudnovembre2005 ................... 13 Nouvelle-Calédonienovembre2004 .................18 Pondichéry31mars2003 ............................23 AmériqueduNord31mai2006 ......................28 Liban31mai2006 ....................................33 Antilles-Guyanejuin2006 ........................... 38 Asiejuin2006 ........................................44 Centresétrangersjuin2006 ..........................50 Francejuin2006 ......................................55 LaRéunionjuin2006 .................................61 Polynésiejuin2006 ...................................702[BaccalauréatESAntilles-Guyaneseptembre2005\ EXERCICE 1 5points Sur lafigureci-dessous, onatracélacourbereprésentativeC d’unefonction f dé-· · 3 rivablesur − ;+∞ . 2 µ ¶ 3 3 • LespointsJ − ;− ,K(−1; 0),A(1;e)etB(2;2)sontdespointsdeC ; 2 2 • LatangenteàC enAestparallèleàl’axedesabscisses. • LatangenteàC enBpasseparT(4;0). • Ladroited’équation y=1estasymptoteàC en+∞.· · 3 • La fonction f est strictement croissante sur − ; 1 et strictement décrois- 2 santesur[1;+∞[. A B C →−  K T →−O ı J µ ¶ 3 1. a. Donner les valeurs de f − , f(−1), f(1), f(2) ainsi que la limite de f 2 en+∞. ′ ′b. Donner,enjustifiantvosréponses.,lesnombres f (1)et f (2). 2. Soitg lafonctiondéfinieparg(x)=ln[f(x)]etΓsareprésentationgraphique. a. Déterminer l’intervalle I de définition de g. Calculer les limites de g en −1eten+∞. EndéduirelesasymptotesàlacourbeΓenprécisantuneéquationpour chacuned’elles. ′ ′b. Exprimer g (x) à l’aide de f(x) et f (x). En déduire le tableau de varia- tionsdeg. ′c. Déterminer g(2) et g (2), puis une équation de la tangente àΓ au point ′B d’abscisse2. EXERCICE 2 5points Dans cet exercice, A et B étant des évènements, A désigne l’évènement contraire de l’évènementA,P(A)laprobabilitédeAetP (A)laprobabilitédeAsachantqueBestB réalisé. Uneentreprisefabriquedesappareilsengrandnombre.Uneétudestatistiqueaper- misdeconstaterque10%desappareilsfabriquéssontdéfectueux. L’entreprisedécidedemettreenplaceuntestdecontrôledecesappareilsavantleurBaccalauréatES septembre2005àjuin2006 miseenvente.Cecontrôledétecteetélimine 80%desappareilsdéfectueux,maisil élimine également à tort 10% des appareils non défectueux. Les appareils non éli- minéssontalorsmisenvente. On prend au hasard un appareil fabriqué et on note D l’évènement «l’appareil est défectueux»etVl’évènement «l’appareilestmisenvente». 1. Construireunarbrepondérérendantcomptedecettesituation.³ ´ 2. a. CalculerP(V∩D)etP V∩D . En déduire que la probabilité qu’un appareil fabriqué soit mis en vente aprèscontrôleest0,83. b. Calculer la probabilité qu’un appareil mis en vente après contrôle soit défectueux. c. VérifierqueP (D)≈0.24×P(D).V Rédiger une phrase comparant les probabilités pour un acheteur d’ac- quérir un appareil défectueux suivant que l’entreprise applique ou non letestdecontrôle. 3. Uneentreprisedécided’appliquer lecontrôle,toutencontinuantàfabriquer le même nombred’appareils. Elle fabriquaitetvendaitune quantité q d’ap-0 pareilsauprixp .0 Lespourcentagesdemandésserontarrondisàl’unité. a. Quelle est, en fonction de q la nouvelle quantité q d’appareils mis en0 1 venteaprèscontrôle? b. Dequelpourcentagelaquantitévenduea-t-ellediminué? c. Queldoitêtrelenouveauprixp (enfonctiondep pourquel’entreprise1 0 maintiennesonchiffred’affaires? Quelestalorslepourcentaged’augmentationduprixdevente? EXERCICE 3 10points Un médicament est injecté par voie intraveineuse. Dans les heures qui suivent, la substanceestéliminéeparlesreins.Laquantitéq présentedanslesang(q enmil-i i ligrammes) àl’instant t (t ,enheures) aétémesurée pardesprisesdesang toutesi i lesdeuxheures. t (heures) 0 2 4 6 8i q (mg) 9,9 7,5 5,5 3,9 3i PARTIEA Modélisationparunefonctionaffine¡ ¢ Lenuagedepointsassociéàlasérie t ; q estreprésentédanslerepèreorthogonali i ci-dessous. 1. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, une équation de la droite D d’ajuste- mentaffinedeq ent parlaméthodedesmoindrescarrés(coefficientsarron- −2disà10 );tracerladroiteDsurlafigure1. 2. En supposant que cemodèle reste valablependant 12 heures, quelle estima- tion obtient-on de la quantité demédicament présente dansle sang au bout de12heures?Qu’enpensez-vous? PARTIEBRecherched’unmodélemieuxadapté 1. Représenter dans le repère semi-logarithmique ci-dessous le nuage de point¡ ¢ associéàlasérie t ; q .i i Quel type d’ajustement l’allure de cette représentation permet-elle d’envisa- ger? 2. Onposey =lnq .Recopieretcompléterletableauci-dessous(valeursarron-i i diesaucentième). Antilles-Guyane 4 septembre2005b b b b b BaccalauréatES septembre2005àjuin2006 11q (mg) 10 10 9 8 7 6 5 5 4 3 2 1 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13t (heures)0 5 10 FIG. 1– t (heures) 0 2 4 6 8i y (mg)i 3. Déterminer à l’aide dela calculatrice une équation dela droited’ajustement affinede y en t par la méthode desmoindres carrés(coefficients arrondisau centième). 4. Montrerquel’expressiondeq enfonctiondet obtenueàpartirdecetajuste- −btmentestdelaformeq=ae oùa estarrondiàl’unitéetb aucentième. 5. Étudierlesensdevariationdelafonction f définiesur[0;15]par: −0,15tf(t)=10e . TracersacourbereprésentativeCsurlafigure1. 6. Onsupposequecenouveaumodèlerestevalablependant12heures.Calculer −1à 10 près la quantité de médicament présente dans le sang au bout de 12 heures.Placerlepointcorrespondantsurlegraphique. PARTIEC f(t+1)−f (t) 1. Calculer . Interpréter le résultat par une phrase concernant le f(t) pourcentagedevariationdelaquantitédemédicamentprésentedanslesang. 2. Lemédicamentresteefficacetantquelaquantité présentedanslesangreste supérieureà2mg. Déterminergraphiquement,à1heureprèspardéfaut,laduréed’efficacitéde l’injection. 3. Calculer,àundixièmedemilligramme près,laquantitémoyennedemédica- mentprésentedanslesangpendantles10heuresquisuiventl’injection. Antilles-Guyane 5 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006 q (mg) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 10 t (heures) FIG. 2– EXERCICE 4 5points Enseignementdespécialité Sur unmarchéoùseulunproduitAétaitprésent, unnouveau produitBestmisen venteàpartirdel’année2003.Uneenquêteamontréque: • la probabilité qu’un client de A, une année donnée, reste fidèle à A l’année suivanteest0,67; • la probabilité qu’un client de B, une année donnée, choisisse A l’année sui- vanteest0,27. Onsuppose quela clientèle totale pour les deuxproduits nechangepas.Onprend unclientauhasardl’année(2002+n). Notations: – OnappelleAl’état«acheterleproduitA»; – OnappelleBl’état«acheterleproduitB»; – Onnotea laprobabilitéquececlientachèteApendantl’année(2002+n).n – Onnoteb laprobabilitéquececlientachèteBpendantl’année(2002+n).n – Onadonca =1etb =0.0 0 1. Traduirelesdonnéesdel’énoncéparungrapheprobabilistedesommetsAet B. LamatriceMdecegrapheprobabiliste,enconsidérantlessommetsdugraphe dansl’ordreApuisB,estdonc: µ ¶ 0,67 0,33 M= 0,27 0,73 2. OnappelleP =(a b )lamatricedécrivantl’étatprobabilistedelaclientèlen n n l’année(2002+n) Antilles-Guyane 6 septembre2005BaccalauréatES septembre2005àjuin2006 a. Donnerlarelationmatricielleliantl’étatP àl’étatP .CalculerP ettra-1 0 1 duirecerésultatparunephrase. b. Calculerettraduiredemêmel’étatP .2 3. a. ExprimerP enfonctiondeP .Endéduiteque,pourtoutentiern,onn+1 n a: a =0,67a +0,27b puis a =0,4a +0,27.n+1 n n n+1 n b. On définit la suite (u ) par u = a −0,45 pour tout entier n. Montrern n n que (u ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et len premierterme. c. Exprimeru puisa etb enfonctionden.n n n 4. a. Quellessontleslimitesrespectivesa etbdessuites(a )et(b ).Exprimern n cesrésultatsentermesderépartitionsurlemarchédesproduitsAetB. b. OnposeP=(a b). VérifierqueP=P×M. Quereprésentel’étatP?Dépend-ildel’étatinitialP ?0 Antilles-Guyane 7 septembre2005Durée:4heures [BaccalauréatESFranceseptembre2005\ EXERCICE 1 3points Communàtouslescandidats Uneenquêtemenéepourlecompted’uneentrepriseapermisd’établirlenombre d’acheteurs d’un produit X selon le montant de son prix de vente. Les résultats de l’enquêtesontrésumésdansletableauci-dessousdanslequel: •x désigneleprixdeventeunitaire(eneuros)duproduitX;i • y lenombred’acheteursenmilliers.i x 1 1,50 2 3 4i y 3,75 2,8 2 1 0,5i ¡ ¢ 1. Représenter survotrecopielenuagedepointsassociéàlasérie x ; y dansi i³ ´→− →− un repère orthogonal O, ı ,  du plan (unités graphiques : 4 cm pour 1 euroenabscisseet2cmpour1000acheteursenordonnée).¡ ¢ 2. Onrechercheunajustementaffinedelasérie x ; y .i i a. Donner l’équation de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la méthodedesmoindrescarrés. Les calculs serontfaits àlacalculatrice etles valeurscherchéesserontar- rondiesaucentième;onnedemandeaucunejustification. b. Tracercettedroitedanslemêmerepèrequeprécédemment. c. Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre d’acheteurs potentiels pourunproduitvendu2,50euros. EXERCICE 2 5points Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité Parmilesstandsdejeuxd’unefêtedevillage,lesorganisateursontinstalléunema- chine qui lance automatiquement une bille d’acier lorsque le joueur actionne un bouton. Cette bille roule sur un plan comportant une cible circulaire évidée en son centre. Lorsquelabilleatteintlacible,soitelleestavalée,soitellerestesurlacible. Lorsquelabillen’atteintpaslacibleellerevientàsonpointdedépart. Danslasuitedel’exercice,onnotera: • Cl’évènement «lacibleestatteinte»; • Bl’évènement «labilleestavalée». Uneétudepréliminaireadémontréque: -laprobabilitéd’atteindrelaciblelorsd’unlancerestégaleà0,3; -lorsquelacibleaétéatteinte,laprobabilitéquelabillesoitavaléeestégaleà0,2. 1. Traduirelasituationaléatoireci-dessusparunarbredeprobabilité. 2. Onactionnelebouton. a. CalculerlaprobabilitéP quelabillesoitavalée.1 b. CalculerlaprobabilitéP qu’ellerestesurlacible.2BaccalauréatES septembre2005àjuin2006 Une partie se déroule selon la règle ci-dessous. Pour jouer, on paie 0,50 euro etonactionneleboutonquilancelabille: • silabilleestavalée,o