Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie \ novembre 1993 EXERCICE 1 5 points On se propose de calculer l'intégrale : J = ∫1 0 xex (1+ex )3 dx. 1. Calculer les deux intégrales : A = ∫1 0 ex 1+ex dx. B = ∫1 0 ex (1+ex )2 dx. 2. Déterminer trois nombres réels a, b et c tels que pour tout nombre réel t po- sitif ou nul on ait : 1 (1+ t)2 = a+ bt 1+ t + ct (1+ t)2 (1). 3. En posant t = ex dans l'égalité (1), calculer l'intégrale : I = ∫1 0 1 (1+ex )2 dx. 4. a. À l'aide d'une intégration par parties exprimer J en fonction de I . b. En déduire la valeur de I . À l'aide de la calculatrice donner une valeur approchée de J à 10?2 près. EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire Onconsidère, dans le planorienté rapporté au repère orthonormal direct ( O, ??u , ??v ) , la courbe (C ) d'équation xy?2x?3y?1= 0, et la transformation f du plan, qui, au point M d'affixe z, associe le point M ? d'affixe z ? tel que 1- i z ? = 1? i2 z?2+2i.

• coordonnées du centre et des sommets


• repère orthonor- mal


• repère


• planorienté rapporté au repère orthonormal direct

Sujets

• Repère

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 1993
• Nombre de lectures: 41
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C NouvelleCalédonie\ novembre 1993

E X E R C IC E 1 5points On se propose de calculer l’intégrale : Z 1 x xe J=dx. x 3 0 (1+e ) 1.Calculer les deux intégrales : Z 1 x e A=dx. x 0 1+e Z 1 x e B=dx. x 2 0 (1+e ) 2.Déterminer trois nombres réelsa,betctels que pour tout nombre réeltpo sitif ou nul on ait :

1b tc t =a+ +(1). 2 2 (1+t) 1+t(1+t) x 3.En posantt=l’égalité (1), calculer l’intégrale :e dans Z 1 1 I=dx. x 2 0 (1+e ) 4. a.À l’aide d’une intégration par parties exprimerJen fonction deI. b.En déduire la valeur deI. À l’aide de la calculatrice donner une valeur −2 approchée deJprès.à 10

E X E R C IC E points2 4 Enseignement obligatoire ³ ´ −→−→ On considère, dans le plan orienté rapporté au repère orthonormal directO,u,v, la courbe (C) d’équationx y−2x−3y−1=0, et la transformationfdu plan, qui, au ′ ′ pointMd’affixez, associe le pointMd’affixeztel que 1 i 1−i ′ z=z−2+2i. 2 1.Montrer quefadmet un point invariant unique que l’on déterminera. Reconnaître la nature de la transformationfet donner ses éléments caracté ristiques. ¡ ¢ ′ ′ 2.Exprimer les coordonnées (x;y) deMen fonction des coordonnéesx;y ′ deM. 3.Montrer que l’image de la courbe (C) par la transformationfest la courbe ′ (C) d’équation

′2′2′ ′ x−y−x+3y−9=0.

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

′ 4.Montrer que la courbe (C) est une hyperbole dont on donnera, dans le repère ³ ´ −→−→ ′ O,u,v, les coordonnées du centre et des sommets. Représenter (C) dans ³ ´ −→−→ le repèreO,u,v.

P R O B L È M E 11 points Le but de ce problème est l’étude d’une fonction et le calcul ou l’encadrement de quelques nombres qui lui sont attachés. Soitfla fonction numérique définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : 1 f(x)=x+lnx−xlnx. 8 On note (C) la courbe représentative defdans le plan muni d’un repère orthonor ³ ´ −→−→ mal O,ı,en prenant 2 cm comme unité graphique.

Partie A Étude du signe de la dérivée def ′ ′′ 1.Calculerf(x) etf(x). ′ 2.Prouver que l’équationf(x)=0 admet une solution unique. On noteαcette solution. Justifier que 1 6 α 6 1, 2. ′ 3.Déterminer le signe def(x) suivant les valeurs dex. Partie B Étude et représentation graphique de la fonctionf 1.Calculer les limites defen zéro et en+∞. Donner le tableau des variations de f. 2.Prouver que :

′ ′ 0 6 f(α)−f(1) 6 f(1).(α−1) 6 0, 2.f(1). En déduire un encadrement def(α). 3.Tracer la courbe (C). Partie C Approximation deα Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par :

1 g(x)=e . 8x 1.Prouver queg(α)=α. Déduire du sens de variation degque pour tout élémentxde l’intervalle [1 ; 1,2],g(x) appartient encore à cet intervalle. 2.Soit (u n ) la suite d’éléments de [1 ; 1,2] définie par :

u 0 =1 etu n+1 =g ( u n tout entier naturel) pourn. a.Prouver que pour tout entier natureln, on a :

NouvelleCalédonie

| u n+1 −α | 6 0, 15 | u n −α | .

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Baccalauréat C

b.Démontrer que la suite (u n ) converge versα. c.Établir que :

−5 | u 6 −α | 6 10 .

A. P. M. E. P.

Calculeru 6 à l’aide de la calculatrice (on donnera la partie entière et les cinq premières décimales).

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