Baccalauréat C Paris juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Paris 1 juin 1984 \ EXERCICE 1 4 POINTS Le plan P est rapporté au repère ( O, ??ı , ??? ) . On considère l'application affine f qui à tout point M de P, de coordonnées x et y associe le point M ? de coordonnées x? et y ? données par : ? { x? = x?2y +2 y ? = ?2x+4y ?1. 1. Déterminer l'ensemble des points invariants par f . 2. Montrer que l'image de P par f est une droiteD. 3. Montrer que f = h ? p, où h est une homothétie qu'on déterminera et p la projection orthogonale sur la droiteD. EXERCICE 2 4 POINTS Dans le plan, rapporté au repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) , on considère la courbe (Cm) d'équation mx2+ y2?2x = 0. 1. Discuter suivant les valeurs dem la nature de la courbe (Cm). 2. Tracer les courbes (C0) et (C2) sur une même figure. L'unité de longueur est 4 cm. PROBLÈME 2 POINTS Le symbole ln désigne la fonction logarithme népérien. Les courbes de la partie A sont à construire dans le plan muni rapporté au même repère orthonormé ( O, ??ı , ??? ) . L'unité de longueur est 2 cm.

• f˜ ?1


• courbe


• z2?2z cos


• courbe représentative de f˜ ?1


• e2x ?1


• droited


• projection orthogonale sur la droited


• symbole ln


• nature de la courbe

Sujets

• Courbe

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1984
• Nombre de lectures: 74
• Langue: Français

Extrait

1 [juin 1984Baccalauréat C Paris\

E X E R C IC E 1 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Le plan P est rapporté au repèreO,ı,. On considère l’application affinefqui à tout pointMde P, de coordonnéesxety ′ ′′ associe le pointMde coordonnéesxetydonnées par : ? ½ ′ x=x−2y+2 ′ y= −2x+4y−1. 1.Déterminer l’ensemble des points invariants parf. 2.Montrer que l’image de P parfest une droiteD. 3.Montrer quef=h◦p, oùhest une homothétie qu’on déterminera etpla projection orthogonale sur la droiteD.

E X E R C IC E 2 4 P O IN TS ³ ´ −→−→ Dans le plan, rapporté au repère orthonorméO,ı,, on considère la courbe ( C m ) d’équation

2 2 m x+y−2x=0. 1.Discuter suivant les valeurs demla nature de la courbe (C m ). 2.Tracer les courbes (C 0 ) et (C 2 ) sur une même figure. L’unité de longueur est 4 cm.

P R O B L È M E 2 P O IN TS Le symbole ln désigne la fonction logarithme népérien. Les courbes de la partie A sont à construire dans le plan muni rapporté au même ³ ´ −→−→ repère orthonorméO,ı,. L’unité de longueur est 2 cm. Partie A 1.À tout réelx, tel que cosx6=0, on associe :

f(x)= −ln|cosx|. a.Étudier la fonctionfainsi définie. b.Construire la courbe représentative def, notée (C). 2.On noteSl’ensemble des solutions de l’équation

x∈Rcosx+3 sinx=0. a.Résoudre cette équation. b.On considère la fonction µ ¶ R−{S}→R p g= ¯¯ x−−→7ln cosx+3 sinx Montrer que (Γ), courbe représentative deg, est l’image de (C) par une application affine que l’on caractérisera. 1. Paris,Créteil, Versailles

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

h i π ˜ 3.On notefla restriction def.à l’intervalle0 ; 2 ¡ ¢ ˜ ˜˜ −1−1 a.Montrer quefadmet une fonction réciproque, notéef. Calculerfln 2. ˜ −1 b.Étudier la dérivabilité def. Montrer que, pour tout réel strictement positifx, on a : ¡ ¢ ′ 1 −1 ˜ f(x)= p. 2x e−1 −1 ˜ c.Dessiner la courbe représentative def, notée (C). π 4.La suite u est définie paru 0 =et, pour tout entier naturel non nuln,u n = 4 f ( u n−1 ). a.Montrer que l’équation i h π π x∈; ,f(x)=x 3 2 admet une unique solution, notéeℓ. Donner un encadrement deℓdans −2 un intervalle de longueur 10. b.Montrer, par récurrence, que tous les termes de la suiteuappartiennent h i π à l’intervalle0 ;. 4 Montrer queuest décroissante. c.Montrer queuest convergente et trouver sa limite. Partie B ⋆ On considère la fonctionG, définie surRpar + Z x 1 G(x)=dt. 2t e−1 ln 2 1.Montrer qu’il existe un réelk, que l’on calculera, tel que pour tout réel stricte ment positif, on ait

−1 G(x)=f(x)+k. 2.Montrer queGadmet une limite en plus l’infini et une limite en 0. Calculer ces limites. Partie C 1. a.αest un nombre réel, résoudre l’équation ½ z∈C E α 2 , 1 z−2zcosα+1=0. b.En déduire la forme trigonométrique des solutions de l’équation ½ z∈C E α,n 2n n z−2zcosα+1=0.

dans laquellenest un entier naturel non nul donné. 2.Pour tout entier naturel non nuln, pour tout réelα, pour tout complexez, on pose

2n n P α (z)=z−2zcosα+1.

On admet que, pour tousz,αetn, on a

Paris, Créteil, Versailles

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juin 1984

Le baccalauréat de 1984

A. P. M. E. P.

µ µ¶ ¶ ³ ´ α α2kπ 2 2 P α (z)=z−2zcos+1× ∙ ∙ ∙ ×z−2zcos+ +1∙ ∙ ∙ n nn µ µ¶ ¶ α2(n−1)π 2 × ∙ ∙ ∙ ×z−2zcos+ +1 . n n et on note · µ¶ ¸ n−1 Y α2kπ 2 P α (z)=z−2zcos+ +1 . n n k=0 a.CalculerP α (1) et en déduire que ¡ ¢ µ ¶ 2 α n−1 Y αkπ sin 2 2 sin+ −. n−1 2n n4 k=0 b.Pour toutαélément de l’intervalle [0 ;π[ et pour tout naturelnsupérieur ou égal à 2, on pose µ ¶ n−1 Y αkπ H n (α)=sin+. 2n n k=1 Montrer que, pourαnon nul, on a sin (i) . ¡ ¢ α sin n− 1 2 2H n (α)= ¡ ¢ . α sin 2n

c.Quelle est la limite deH n (α), lorsqueαtend vers 0 ? d.En déduire que pour tout naturelnsupérieur ou égal à 2 :

Paris, Créteil, Versailles

π2π(n−1)πn sin∙sin∙ ∙ ∙ ∙sin= n−1 n nn2

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juin 1984