Baccalauréat ES Nouvelle Calédonie mars

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat ES Nouvelle-Calédonie \ mars 2007 EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats Soit une fonction f définie sur R et dérivable sur R. On donne son tableau de varia- tions : x ?∞ ?1 +∞ f (x) ?∞ 3 0 La courbe (C ) donnée ci-après représente la fonction f dans un repère orthonormal du plan. Cette courbe passe par les points A(?3 ; 1) et B(?1 ; 3). Les droites (D) et (D ?) sont les tangentes à la courbe respectivement en A et en B. 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 A B x y (D) (D ?) (C ) 1. Déterminer graphiquement f ?(?3) et f ?(?1). 2. Soit g la fonction définie sur R par g (x)= e f (x). On admet que g est dérivable sur R. a. Justifier que f et g ont les mêmes variations.

• fraction irré- ductible


• machine produit des pièces


• repère orthonormal du plan


• axe des abscisses


• probabilité


• milliers d'appels par minute


• sages téléphoniques par sms

Sujets

• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mars 2007
• Nombre de lectures: 123
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatESNouvelle-Calédonie\
mars2007
EXERCICE 1 4points
Communàtouslescandidats
Soitunefonction f définiesurRetdérivablesurR.Ondonnesontableaudevaria-
tions:
x ?1 ?1 ?1
3
f(x)
?1 0
Lacourbe(C)donnéeci-aprèsreprésentelafonction f dansunrepèreorthonormal
du plan. Cette courbe passe par les points A(?3 ; 1) et B(?1 ; 3). Les droites (D) et
0(D )sontlestangentesàlacourberespectivementenAetenB.
4y
0 B 3(D ) 3
2
2
A 1
1
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x9
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-1
-2
-2
-3
-3
(D)
-4
(C) -4
-5
-5
0 01. Déterminergraphiquement f (?3)et f (?1).
f(x)2. Soitg lafonctiondéfiniesurRparg(x)?e .
Onadmetqueg estdérivablesurR.
a. Justifierque f etg ontlesmêmesvariations.
b. Déterminer lim g(x)et lim g(x)(onjustifieralesrésultats).
x!?1 x!?1
0c. Calculerg (?3).
£ ¤
3. Soith lafonctiondéfiniesurl’intervalle]?3,1;?1[parh(x)?ln f(x) .
Onadmetqueh estdérivablesurl’intervalle]?3,1;?1[.
a. Déterminer lim h(x)(onjustifieralerésultat).
x!?1
0b. Calculerh (?3).
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Deux joueurs A et B, amateurs de tennis, décident de jouer une partie toutes les
semaines.BaccalauréatES A.P.M.E.P.
? LaprobabilitéqueAgagnelapartiedelapremièresemaineest0,7.
? Si A gagne la partie de la semaine n, il garde la même stratégie de jeu la se-
mainesuivante,etlaprobabilitéqu’ilgagnealorslapartiedelasemaine(n?1)
estseulementde0,4.
? Si A perd la partie de la semaine n, il change de stratégie de jeu pour la se-
mainesuivante,etalors,laprobabilitéqu’ilgagnelapartiedelasemaine(n?1)
estde0,9.
Pourtout entiern supérieur ouégal à 1,on désignepar A l’évènement :«Agagnen
ième ièmela partie de la n semaine», par B l’évènement : «B gagne la partie de la nn
semaine»,etonnotea ?p A .( )n n
Le but de cet exercice est de rechercher la limite de la suite a , en utilisant deux( )n
méthodesdifférentes.
Premièreméthode:grapheprobabiliste
Pourtout entier natureln nonnul, ondésigneparP ?(a 1?a ) la matricedesn n n
ièmeprobabilitésassociéeàlan semaine.
1. Décrirecette situation à l’aided’ungrapheprobabiliste,etdonner la matrice
M detransitionassociéeàcegraphe.
µ ¶ µ ¶
0,7 0,3 0,55 0,452 32. OndonneM ? etM ? .
0,45 0,55 0,675 0,325
èmeQuelleestlaprobabilitépourqueAgagnelapartiedela4 semaine?
3. DéterminerlamatriceligneP?(x 1?x)tellequeP?M?P.
4. Endéduirelalimitedelasuite(a )etinterpréterlerésultatobtenu.n
Deuxièmeméthode:probabilitéetsuites
Danscettedeuxième partie,onnetientpascompte derésultatsdémontrés dansla
partieprécédente.
1. a. Recopiersur votrecopiel’arbreci-dessous,etcompléter l’arbreavecles
5probabilitésmanquantes.
An?1An
an
Bn?1
An?1
Bn Bn?1
b. Justifierquea ?0,9?0,5a pourtoutentiern supérieurouégalà1.n?1 n
2. Onconsidèrelasuite(u )définiepourtoutentiernsupérieurouégalà1par:n
u ?a ?0,6.n n
a. Démontrerque(u )estunesuitegéométriquederaison(?0,5).n
b. Endéduirel’expression dea enfonctionden,puis lalimite dela suiten
(a ).n
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Unemachineproduitdespièces, dontcertainessontdéfectueuses à causededeux
défautspossibles,ledéfautD etledéfautD ,àl’exclusiondetoutautredéfaut.A B
Nouvelle-Calédonie 2 mars2007
bbbbbbbBaccalauréatES A.P.M.E.P.
1. Onaconstatéque,parmilespièces produitesparlamachine,28% ontledé-
fautD ,37%ontledéfautD ,et10%ontlesdeuxdéfauts.A B
On choisit au hasard une des pièces produites par la machine. Quelle est la
probabilitédetombersurunepiècedéfectueuse?
2. Danslasuiteduproblèmeons’intéresseauxpiècesdéfectueusesquin’ont
qu’unseuldéfaut.
On admet que 40% deces pièces ont seulement le défaut D ,et que 60% deA
cespiècesontseulement ledéfautD .Onaconstaté que40% despiècesquiB
ont le défaut D sont réparables, et que 30% des pièces qui ont le défaut DA B
sontréparables.
Onchoisitunepièceauhasard.
Onnote:
Al’évènement :«LapiècealedéfautD »,A
Bl’évènement :«LapiècealedéfautD »,B
Rl’évènement:«Lapièceestréparable».
a. Construireunarbrepondérédécrivantlasituation
b. Calculer laprobabilitédel’évènement :«LapiècechoisiealedéfautDA
etestréparable».
c. Calculerlaprobabilitédel’évènement:«Lapiècechoisieestréparable».
d. Sachantquelapiècechoisieestréparable,déterminerlaprobabilitéqu’elle
aitledéfautD (lerésultatseradonnésouslaformed’unefractionirré-A
ductible).
e. À trois moments différents, on choisit au hasard une pièce parmi les
pièces défectueuses qui ont un seul défaut. On suppose que ces tirages
s’effectuentdansdesconditionsidentiquesetdemanièreindépendante.
Calculer la probabilité pour que, sur les 3 pièces choisies, exactement 2
piècesaientledéfautD .A
EXERCICE 4 6points
Communàtouslescandidats
Lors d’une émission télévisée, les téléspectateurs sont appelés à envoyer des mes-
sagestéléphoniques parSMS,pendantuneduréede5minutes.
Pendantces5minutes,lesappelsarriventdefaçoncontinue,avecundébitvariable
en fonction du temps. Si x est le temps exprimé en minutes, le débit, exprimé en
milliersd’appelsparminute,estdonnéparlafonction f telleque:
2? f(x)??4x ?8x pourx2[0; 1].
? f(x)?lnx?x?5pourx2[1; 5].
Lacourbe(C),représentativedelafonction f dansunrepèreorthonormalduplan,
estdonnéeci-aprèsàtitreindicatif.
Onveutcalculerlenombretotald’appelsreçuspendantces5minutes,etonadmet
Z5
quecenombred’appelsestdonnépar f(x)dx.
0
1. Démontrerque f estcroissantesur[0;1],etdécroissantesur[1;5].
2. a. Donneruneprimitivedelafonction f sur[0;1].
b. Calculer l’aire exprimée en unités d’aire du domaine plan limité par la
courbe (C),l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droited’équa-
tionx?1.
3. a. Soientg etG lesfonctionsdéfiniesur[1;5]parg(x)?lnx et
G(x)?xlnx?x.
MontrerqueG estuneprimitivedeg sur[1;5].
Nouvelle-Calédonie 3 mars2007BaccalauréatES A.P.M.E.P.
b. Calculer l’aire, exprimée en unités d’aire,dudomaine plan limité par la
courbe(C),l’axedesabscisses,etlesdroitesd’équationsx?1etx?5.
4. Donnerlenombretotald’appelsreçuspendantces5minutes.
5
4
4
3
3 (C
2
2
1
1
0
0
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5
Nouvelle-Calédonie 4 mars2007