Baccalauréat ES Polynésie juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat ES Polynésie 10 juin 2011 \ Exercice 1 4 points Commun à tous les candidats 1. VRAI Sur l'intervalle ]?∞ ; 1[, f est continue, strictement décroissante (cf tableau de variation fourni). Et l'intervalle image de ]?∞ ; 1[ est ]?∞ ; 2[. Or 0 appar- tient à cet intervalle. Selon le cas particulier du théorème des valeurs intermé- diaires, l'équation f (x)= 0 admet une et une seule solution sur ]?∞ ; 1[. De plus, sur ]1 ; +∞[, f admet 3 pour minimum. Alors, l'équation f (x) = 0 n'admet pas de solution sur cet intervalle. Finalement, l'équation f (x)= 0 ad- met une unique solution sur ]?∞ ; 1[? ]1 ; +∞[. 2. FAUX La droite d'équation y = 1 n'est ni asymptote en ?∞ (la limite de f est 2), ni asymptote en +∞ (la limite de f est infinie). 3. FAUX La fonction f est décroissante sur l'intervalle ]1 ; 6]. Donc sur cet intervalle, f ?(x) est négatif. Il existe donc au moins un réel x tel que f ?(x)> 0 soit faux.

• points de départ et d'arrivée


• probabilité


• arbre


• degré pair


• points commun


• équation de la droite

Sujets

• Temple
• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2011
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatESPolynésie10juin2011\
Exercice1 4points
Communàtouslescandidats
1. VRAI
Sur l’intervalle ]?1; 1[, f est continue, strictement décroissante(cftableau
devariationfourni).Etl’intervalleimagede]?1; 1[est]?1; 2[.Or0appar-
tientàcetintervalle.Selonlecasparticulierduthéorèmedesvaleursintermé-
diaires,l’équation f(x)?0admetuneetuneseulesolutionsur]?1; 1[.
De plus, sur ]1 ; ?1[, f admet 3 pour minimum. Alors, l’équation f(x)? 0
n’admetpasdesolutionsurcetintervalle.Finalement,l’équation f(x)?0ad-
metuneuniquesolutionsur]?1; 1[[]1;?1[.
2. FAUX
La droite d’équation y?1 n’est ni asymptote en?1 (la limite de f est 2), ni
asymptoteen?1(lalimitede f estinfinie).
3. FAUX
La fonction f est décroissante sur l’intervalle ]1; 6]. Donc sur cet intervalle,
0 0f (x)estnégatif.Ilexistedoncaumoinsunréelx telque f (x)>0soitfaux.
4. FAUX
0 0La fonction f est strictement positive sur ]1; 6]. OrF ? f.DoncF ?0.D’où
F estcroissantesur]1;6].
5. ONNEPEUTPASCONCLURE
Onsaitque:ln[f(x)]existe () f(x) définieet f(x)?0.Sur]?1; 0],l’image
de x par f estparfaitement définie.Mais, onneconnaîtpaslesigne de f sur
cetintervalle.Ilsepourrait,parexemple,que f(0)soitnégatif!
6. a. VRAI
f(6) 3Parcompositiondesfonctions,ona:g(6)?e ?e .
b. FAUX
X f(x)Ona lim f(x)??1et lim e ?0donc lime ?0,soit limg(x)?0.
x!1 X!?1 x!1 x!1
x?1 x?1 x?1
c. FAUX
0 0 f(x) f(x) 0 0Ona: g (x)? f (x)?e .Ore ?0.Donc g (3)estdusignede f (3).
0 0Orsur]1 ;6], f estdécroissante.Alors f (3)?0.D’oùg (3)?0.
Exercice2 5points
Communàtouslescandidats
PartieA
1. a. Àl’aidedelacalculatrice,onobtientuneéquation deladroited’ajuste-
mentaffineDdey enx parlaméthodedesmoindrescarrés(coefficients
?2arrondisà10 ): y??4,17x?299,33.
b. OntraceDàl’aidededeuxpoints(lepointmoyenGdunuage,nonexigé,
appartientàD).BaccalauréatES A.P.M.E.P.
2. Méthodelibre!Lecturegraphiquepourx?12...
Onpréférerauncalcul:
Pour x?12, on a y ??4,17?12?299,33?249,29. Que l’on arrondità24912
milliersdemariages.
PartieB
1. 0nreprésentelenuagedepoints N (x ; Y ).i i i
2. Tableau:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8i
Z 2,77 2,71 3,04 3,26 3,50 3,97 4,16 4,56 4,93i
3. a. Onsaitque:Z?0,29x?2,51 etque Z?ln(Y).
0,29x?2,51 0,29x 2,51Ainsi,ln(Y)?0,29x?2,51quiéquivautà:Y ?e ?e ?e ?
0,29x12,30e .(lecoefficient12,30étantarrondi)
0,29xOnabienY ?12,30?e pourcenouvelajustement.
O,29?12b. En2012, x?12.AlorsY ?12,30?e ?399,25.Quel’onarrondità12
399milliers.
PartieC
Il est toujours possible de travailler graphiquement en déterminant, par lecture, à
0,29xpartir de quelle valeur entière de x la courbe (C) d’équation y ? 12,30?e va
passerau-dessusdeladroiteDd’équation y??4,17x?299,33.
0,29xCar, par le calcul, cela revient à résoudre l’inéquation : 12,30?e ??4,17x?
299,33! Pasdeméthodealgébriquesimple!Alors,utilisonslacalculatrice...
Lafonction affine représentée parDest décroissante,tandis que lafonction repré-
sentéeparlacourbe(C)estcroissante.Nousallonsdéterminerle«pointdebascule»
àl’aidedelatabledevaleursdelacalculatrice.Ontrouve:
x Fonction(C) Fonctionaffine(D)
10 257,63 223,54
11 253,46 298,75
C’estàpartirde2011 que,pourlapremièrefois, lenombredepacsdépasseracelui
desmariages.
Exercice3 5points
Enseignementobligatoire
1. Apartirdel’énoncé,puisquel’onestensituationd’équiprobabilité(lecandi-
datinterrogéétantchoisiauhasard):
? ?74,3 17,8
p(R )? ? 0,743; p(O)? ? 0,178; p(E )? 1? p(R )?p(O) ?1 1 1
100 100
0,079.
2. Uncandidatadmisestreçuaupremiertourouestreçuaprèsavoirpassél’oral
derattrapage.
L’évènement A peut s’écrire: A = R [(O\R )et p(O\R )?p(A)?p(R )?1 2 2 1
0,861?0,743?0,118.
Interprétation:11,8%descandidatsontétéreçusaurattrapage.
Polynésie 2 10juin2011BaccalauréatES A.P.M.E.P.
3. Calculd’uneprobabilitéconditionnelle.
p(O\R ) 0,1182
p (R )? ? ?0,663.O 2
p(O) 0,178
Interprétation:66,3%descandidatsadmisàl’oralderattrapageontétéreçus.
4. Arbredeprobabilités.L’arbrepondérédécrivantlasituationest:
R1
0,743
0,663 R2
0,178
O
0,337 E2
0,079
E1
5. Oninterrogeauhasardtroiscandidatsetl’onconsidèrequelestroisréponses
sont indépendantes lesunes desautres.Ils’agitd’unschémadeBernoullide
paramètres n?3 (l’expérience est répétée 3 fois dans les mêmes conditions)
etp?p(A)?0,861(probabilitédusuccès).
Soit Z lavariablealéatoirecomptabilisantlenombredesuccès,c’est-à-direle
nombredecandidatsadmisparmilestroiscandidatsinterrogés.
a. La probabilité que les trois candidats aient été admis est : p ? p(Z ?1
3 33)?p(A) ?(0,861) ?0,638.
b. Laprobabilitéqu’aumoinsdeuxdestroiscandidatsaientétéadmisest:
2 3p ?p(Z?2)?p(Z?3)?3?(0,861) ?0,139?(0,861) ?0,947.2
Pourp(Z?2),ilYatroischeminsàconsidérersurl’arbreàtroisniveaux
Exercice3 5points
Enseignementdespécialité
PartieA
Voicilegrapheaveclesdegrésdessommets.
W(3)
H(3)
O(2)
L(4)
P(4)
T(4)
E(2)
1. Legrapheestconnexe.Or,d’aprèslethéorèmed’Euler:
-ungrapheconnexeadmetunechaineeulériennesi,etseulementsi,lenombre
desommetsdedegréimpairest0ou2.
-ungrapheconnexeadmetuncycleeulériensi,etseulementsi,toussessom-
metssontdedegrépair.
Polynésie 3 10juin2011
bbbbbbbBaccalauréatES A.P.M.E.P.
W et H sont les seuls sommets de degré impair. Le graphe admet donc une
chaine eulérienne. W et H étant pris pour points de départ et d’arrivée, en
voiciune:
W–O–P–L–W–H–L–T–P–E–T–H
2. Selonle1.,puisquetouslessommetsnesontpasdedegrépair,legraphen’ad-
metpasdecycleeulérien.
3. Le graphe n’est pas orienté. Ainsi, sa matrice M associée est une matrice sy-
métrique.
L’élément a de la matrice M est égal au nombre de chaines de longueur 1ij
reliant lesommet i ausommet j.Les sommets étant pris dansl’ordrealpha-
bétiqueEHLOPTW,lamatriceMestlasuivante:
0 1
0 0 0 0 1 1 0
B C0 0 1 0 0 1 1B C
B C0 1 0 0 1 1 1B C
B C
0 0 0 0 1 0 1B C
B C
B1 0 1 1 0 1 0C
B C
@ A1 1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 0 0 0
PartieB
1. Utilisons l’algorithmededéterminationd’unepluscourtechaînedeDijkstra.
LesommetOestlesommetdedépartetTestceluid’arrivée.
Onobtientlapluscourtechaîne:O-P-L-H-Tdepoids46.
O W P L H E T
0 15,O 13,O 1 1 1 1
15,O 13,O 18,P 1 28,P 47,P
15,O 18,P 29,W 28,P 47,P
18,P 26,L 28,P 47,P
26,L 28,P 46,H
28,P 46,H
46,H
2. LepluscourtchemindeOàTestdepoids46,cequicorrespondà46minutes
dedéplacementpourArthur.
Mais, comme celui-ci nedispose que de40 minutes pour arriveràTemple, il
seraenretardde6minutessurl’horairefixéparlesorganisateursduséjour!
Exercice4 6points
Communàtouslescandidats
?0,024xIls’agitd’étudier f(x)?17280e .
1. En2011, x?11.Donconcalcule f(11)?13271aubillionprès.
2. Lalimitede f en?1.
?0,024xOna lim e ?0,donc lim f(x)?0
x!?1 x!?1
v 0 0 v 03. f ? ke . Donc f ? kv e . Pour tout nombre réel x de [11 ; ?1[ : f (x)?
?0,024x ?0,024x17280?(?0,024)e ??414,72e .
0Donc f (x)?0.Alors f eststrictementdécroissantesur[11;?1[.
Polynésie 4 10juin2011BaccalauréatES A.P.M.E.P.
x 11 ?1
0 ?f (x)
m
f(x)
0
avecm?13271.
4. NON! f admetpourmaximumm.Orm?15000.Donciln’existepasdevaleur
dex telleque f(x)?15000.
5. NON! f admet pour limite 0 en plus l’infini. Donc on peut trouver x tel que
f(x)?6000.
Déterminationdel’année: ? ?
6000 6000?0,024xf(x)?6000 () e ? ()?0,024x?ln ()
17280 17280
? ? ? ?
6000 6000ln ln
17280 17280x? .Or ?44,07.
?0,024 ?0,024
Donc on prend x> 45. Les découvertes de pétrole deviendront strictement
inférieuresà6000billionsdebarilsàpartirde2045.
Vérification:x?44 ; f(44)?6011etx?45 ; f(45)?5868.
6. a. f est une fonction continue sur l’intervalle [11 ; ?1[. Elle admet donc
desprimitivessurcetintervalle.SoitF l’unedesesprimitives.Onaalors:
1?0,024x ?0,024x ?0,024xf(x)?17280e ,doncF(x)?17280? e ??720000e .
?0,024
Z21 ? ?
?0,504 ?0,264b. Onaensuite:I? f(x)dx?F(21)?F(11)??720000 e ?e .
11
Z21
f(x)dx?117982 àl’unitéprès
11
c. Oncherchelavaleurmoyennev de f surl’intervalle[11;21].
Z211 I
v? ? f(x)dx? ?11798
21?11 1011
D’après ce modèle, on peut espérer découvrir 11798 billions de barils
paran.
Jean-PaulBlaineau
Polynésie 5 10juin2011