Baccalauréat ESMétropole juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat ESMétropole 15 juin 2006\ EXERCICE 1 3 points Commun tous les candidats Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [?3 ; +∞[, croissante sur les intervalles [?3 ; ?1] et [2 ; +∞[ et décroissante sur l'intervalle [?1 ; 2]. On note f ? sa fonction dérivée sur l'intervalle [?3 ; +∞[. La courbe ? représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère orthogonal ( O, ??ı , ??? ) . Elle passe par le point A(?3 ; 0) et admet pour asymptote la droite ∆ d'équation y = 2x?5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ?1 ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 1 2 3 4 5 6 7 8 9?1?2?3-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A B C x y O ∆ ? Pour chacunedesaffirmations ci-dessous, cocher la caseV (l'affirmationest vraie) ou la case F (l'affirmation est fausse) sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie. Les réponses ne seront pas justifiées. NOTATION : une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.

• milliers d'habitants


• dvd


• accroissement relatif de la consommation médicale de l'année


• consommation médicale


• probabilité


• situation aléatoire par l'arbre incomplet


• matrice de transition asso- ciée


• accroissement absolu de a1

Sujets

• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2006
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Extrait

[BaccalauréatESMétropole15juin2006\
EXERCICE 1 3points
Commun touslescandidats
Soit f unefonctiondéfinieetdérivablesur l’intervalle [?3; ?1[,croissantesurles
intervalles[?3;?1]et[2;?1[etdécroissantesurl’intervalle[?1; 2].
0Onnote f safonctiondérivéesurl’intervalle[?3;?1[.
La courbe Γ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans un repère³ ´!? !?
orthogonal O, ı , | .
Elle passe par le point A(?3 ; 0) et admet pour asymptote la droite Δ d’équation
y?2x?5.
15
y14
14
13
13
12
12 Γ
11
11
Δ10
10
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
xA 0
-3 -2 -1 0O 1 2 C 3 4 5 6 7 8 9 10-1?3 ?2 ?1 1 2 3 4 5 6 7 8 9?1
-2
?2
-3
?3
-4
?4
-5
?5
B-6
?6
Pourchacunedesaffirmationsci-dessous,cocherlacaseV(l’affirmationestvraie)
oulacaseF(l’affirmationestfausse)surl’ANNEXE,àrendreaveclacopie.
Lesréponsesneserontpasjustifiées.
NOTATION:uneréponseexacterapporte0,5point; uneréponseinexacteenlève0,25
point l’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total
despoints estnégatif,la noteglobaleattribuéeà l’exerciceest 0.
a.L’équation f(x)?4admetexactementdeuxsolutionsdansl’intervalle
[?3;?1[.
b. lim f(x)??1.
x!?1
c. lim [f(x)?(2x?5)]??1.
x!?1
0d.f (0)??1.
0e. f (x)?0pourtoutnombreréel x appartenantàl’intervalle[?2; 1].
Z1
f. f(x)dx>7.
?1BaccalauréatES A.P.M.E.P.
EXERCICE 2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
La médiathèque d’une université possède des DVD de deux provenances, les DVD
reçusendotationetlesDVDachetés.Parailleurs,ondistinguelesDVDquisontde
productioneuropéenneetlesautres.
OnchoisitauhasardundecesDVD.Onnote:
Dl’évènement «leDVDaétéreçuendotation»etDl’évènement contraire,
Ul’évènement«leDVDestdeproductioneuropéenne»etUl’évènementcontraire.
On modélise cette situation aléatoire par l’arbre incomplet suivant dans lequel fi-
gurentquelques probabilitésparexemple, laprobabilitéqueleDVDaitétéreçuen
dotationest p(D)?0,25.
0,65
UD
0,25
U
U
D U
Ondonne,deplus,laprobabilitédel’évènementU: p(U)?0,7625.
LespartiesAetBsontindépendantes
PARTIEA
1. a. DonnerlaprobabilitédeUsachantD.
b. Calculer p(D).
2. a. Calculer la probabilitéque le DVD choisi ait été reçuendotation et soit
deproductioneuropéenne(donnerlavaleurexacte).
b. Montrer que la probabilité que le DVD choisi ait été acheté et soit de
productioneuropéenneestégaleà0,6.
3. Sachant que le DVD choisi a été acheté, calculer la probabilité qu’il soit de
productioneuropéenne.
PARTIEB
OnchoisittroisDVDauhasard.OnadmetquelenombredeDVDestsuffisamment
grand pour que ce choix soit assimilé à trois tirages successifs indépendants avec
remise.Onrappelle quelaprobabilitédechoisirunDVDreçuendotationestégale
à0,25.
Déterminerlaprobabilitédel’évènement :«exactementdeuxdestroisDVDchoisis
ontétéreçusendotation».(Donnerlavaleurdécimalearrondieaumillième).
EXERCICE 2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Dans une région de France supposée démographiquement stable, on compte 190
milliers d’habitants qui se déplacent en voiture pour aller travailler : les uns se dé-
placentseulsdansleurvoiture,lesautrespratiquentleco-voiturage.Onadmetque:
– si une année un habitant pratique le co-voiturage, l’année suivante il se dé-
placeseuldanssavoitureavecuneprobabilitéégaleà0,6;
– si une année un habitant se déplace seul dans sa voiture, l’année suivante il
pratiqueleco-voiturageavecuneprobabilitéégaleà0,35.
Métropole 2 15juin2006
bbbbbbbBaccalauréatES A.P.M.E.P.
Premièrepartie
On note C l’état «pratiquer le co-voiturage» et V l’état «se déplacer seul dans sa
voiture».
1. Dessiner un grapheprobabilistedesommets CetVqui modélise la situation
aléatoiredécrite.
2. En considérant C et V dans cet ordre,en ligne, la matrice de transition asso-
µ ¶
0,40 0,60
ciée à ce ( graphe est M? . Vérifier que l’état stable du système
0,35 0,65
correspondàlamatriceligne(70 120).
Endonneruneinterprétation.
Deuxièmepartie
En 2000, 60 milliers d’habitants pratiquaient le co-voiturage et 130 milliers d’habi-
tantssedéplaçaientseulsdansleurvoiture.
Onappelle X (n entiernaturel)lenombredemilliersd’habitantsquipratiquentlen
co-voituragedurantl’année2000?n.Onadonc X ?60.0
Onadmetquepourtoutentiernatureln, X ?0,05X ?66,5.n?1 n
Onconsidèrelasuite(u ) ,définiepourtoutentiernatureln parU ?X ?70.n n2N n n
1. Prouver que la suite (u ) est une suite géométrique. Préciser sa raison etn n2N
sonpremierterme.
n2. Montrerquepourtoutentiernatureln, X ?70?10?0,05 .n
Est-ilpossibleque,durantuneannée,lenombred’habitantspratiquantleco-
voiturageatteignelamoitiédelapopulationdecetterégion?
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Lesdeuxpartiesdel’exercicesontindépendantes
Letableauci-dessousdonnelaconsommationmédicale(expriméeenmilliardsd’eu-
ros)delapopulationd’unpays:
Année 1990 1995 2000 2001 2002 2003
Rangdel’année x 0 5 10 11 12 13i
Consommation y 38 49,1 51,81 57 62,7 68,97i
D’aprèsINSEE
PARTIEA
Lebutdecettepartieestdemettreenoeuvredeuxmodélisationsdecetteconsom-
mationmédicale.
1. Premiermodèle
a. Onutiliseunajustementaffine.Donner,àl’aidedelacalculatrice,l’équa-
tion de la droite de régression de y en x, obtenue par la méthode des
moindres carrés. Pour chacun des coefficients, donner la valeur déci-
malearrondieaucentième.
b. En supposant que l’évolution se poursuive selon cemodèle, en déduire
uneestimation delaconsommationmédicaleenmilliardsd’eurospour
l’année2008(donnerlavaleurdécimalearrondieaucentième).
2. Deuxièmemodèle
a. Calculerl’accroissementrelatifdelaconsommationmédicaledel’année
2000àl’année2001,puisdel’année2001àl’année2002(donnerlavaleur
décimalearrondieaudixième).
Métropole 3 15juin2006BaccalauréatES A.P.M.E.P.
b. Àpartirdel’année2000,onmodéliselaconsommationmédicalepar:
ny ? 51,81?1,1 pour l’année 2000?n avec n entier naturel. En utili-
sant ce deuxième modèle, en déduire une estimation de la consomma-
tion médicale en milliards d’euros pour l’année 2008 (donner la valeur
décimalearrondieaucentième).
PARTIEB:Réductiondesdépenses
Pour l’année 2005, la consommation médicale réelle s’est élevée à 83,44 milliards
d’euros. Il a été décidé de réduire les dépenses et de les ramener en 2006 à 69,79
milliardsd’euros.
De quel pourcentage (arrondi à 1%) la consommation médicale doit-elle baisser
pouratteindrecetobjectif?
Rappeldedéfinitions
Ondésignepar a et a desnombresréelsstrictementpositifs a ?a .1 2 2 1
L’accroissementabsolude a à a estégalà a ?a .1 2 2 1
a ?a2 1
L’accroissementrelatifde a à a estégal .1 2
a1
EXERCICE 4 7points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définiesurl’intervalle[0;?1[par
1x?3f(x)?e ?
x?4
PARTIEA
01. La fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ; ?1[, on note f sa fonction
dérivée.
0Calculer f (x)pourtoutnombreréel x appartenantàl’intervalle[0;?1[.
2. Endéduirequelafonction f eststrictementcroissantesurl’intervalle[0;?1[
3. Déterminer lim f(x).
x!?1
4. a. Dresserletableaudevariationsdelafonction f surl’intervalle[0;?1[.
b. Onadmetqu’ilexisteununiquenombreréelpositif?telque f(?)?0.
Donnerlesignedelafonction f surl’intervalle[0;?1[.
5. a. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant (donner les va-
leursdécimalesarrondiesaudix-millième)
x 1,32 1,325 1,33
f(x)
b. En déduire la valeur décimale, arrondie au centième, du nombre ? tel
que f(?)?0.
PARTIEB
1. Soit g lafonctiondéfiniesurl’intervalle[0;?1[par
x?3g(x)?e ?ln(x?4)
0a. La fonction g est dérivable sur l’intervalle [0 ; ?1[. On note g sa fonc-
0tion dérivée. Calculer g (x) pour tout nombre réel x appartenant à l’in-
tervalle[0;?1[
Métropole 4 15juin2006BaccalauréatES A.P.M.E.P.
b. Étudier lesensdevariationsdela fonction g surl’intervalle [0; ?1[en
utilisantlesrésultatsdelaPARTIEA.
Z3
2. Calculerl’intégraleI? f(x)dx.
0
(Donnerlavaleurexacte,puislavaleurdécimalearrondieaucenti&