Baccalauréat S Asie juin 1995

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Asie juin 1995 \ EXERCICE 1 4 points Dans le plan orienté, on considère deux droites orthogonales (D) et (D?) et quatre points distincts A, B, C et D tels que : • A et C sont sur (D), B et D sont sur (D?), • AC = BD et (???AC , ???BD ) = pi 2 (2pi) • [AC] et [BD] n'ont pas même milieu. 1. Faire une figure. Compléter cette figure au fil des questions et la joindre à la copie. 2. Justifier qu'il existe une rotation R1 qui transforme A en B et C en D. Déterminer son angle?1 et construire sur la figure son centre I. (On expliquera la construction.) 3. Justifier qu'il existe une rotation R2 qui transforme D en A et B en C. Déterminer son angle?2 et construire sur la figure son centre J. (On expliquera la construction.) 4. On désigne par M le milieu de [AC] et N celui de [BD]. Déterminer la nature du quadrilatère IMJN. 5. Soit P le point diamétralement opposé à I sur le cercle de diamètre [AB], et Q le point diamétralement opposé à I sur le cercle de diamètre [CD].

• droite ∆ d'équation


• plan orienté


• nature du triangle oac


• plan rapporté au repère orthonormal direct


• rotation de r2


• inégalité des accroissements finis

Sujets

• Théorème des accroissements finis

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1995
• Nombre de lectures: 19

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat S Asie juin 1995\

E X E R C IC E 1 4points ′ Dans le plan orienté, on considère deux droites orthogonales (D) et (D) et quatre points distincts A, B, C et D tels que : ′ •A et C sont sur (D), B et D sont sur (D), ³ ´ −→−→ π •AC , BDAC = BD et=(2π) 2 •[AC] et [BD] n’ont pas même milieu. 1.Faire une figure. Compléter cette figure au fil des questions et la joindre à la copie. 2.Justifier qu’il existe une rotationR 1 qui transforme A en B et C en D. Déterminer son angleα 1 et construire sur la figure son centre I. (On expliquera la construction.) 3.Justifier qu’il existe une rotationR 2 qui transforme D en A et B en C. Déterminer son angleα 2 et construire sur la figure son centre J. (On expliquera la construction.) 4.r la natureOn désigne par M le milieu de [AC] et N celui de [BD]. Détermine du quadrilatère IMJN. 5.Soit P le point diamétralement opposé à I sur le cercle de diamètre [AB], et Q le point diamétralement opposé à I sur le cercle de diamètre [CD]. IP ³ ´³ ´ −→−→−→−→ a.et calculer les rapportsDéterminer les anglesIA ,IP , IC, IQ IP IQ et . IA IC b.Préciser l’angle et le rapport de la similitude de centre I qui transforme A en P et C en Q. c.En déduire que J est le milieu de [PQ].

E X E R C IC E 2 Soitfla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par

4 points

2 lnx f(x)=x+. x On désigne par (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (0 ; l,]) (unité graphique : 1 cm).

1.Étude de la fonction auxiliairegdéfinie sur ]0 ;+∞[ par :

2 g(x)=x+2−2 lnx. a.Étudier le sens de variation deget calculerg(1). b.En déduire le signe deg(x) pour toutxde ]0 ;+∞[. 2. a.Calculer les limites defen 0 et en+∞. b.Étudier les variations defet dresser son tableau de variation. c.Montrer que la droiteΔd’équationy=xest asymptote à (C) et étudier la position de (C) par rapport àΔ.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

d.Déterminer les coordonnées du point A de (C) sachant que (C) admet en A une tangente T parallèle àΔ. ³ ´ −→−→ e.Tracer (C),Δet T dans le repèreO,ı,. 3.Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniquex 0 . 1 Prouver que 6 x 0 6 1. 2

E X E R C IC E points3 4 On désigne parhla fonction définie sur ]0 ;+∞[ par 2 x − 2 h(x)=e . · ¸ 1 On note I l’intervalle; 1. 2 1.Montrer que l’équationh(x)=xpossède une solution uniquex 0 sur ]0 ;+∞[ et quex 0 appartient à I. 2.Montrer que pour toutxappartenant à I,h(x) appartient aussi à I. ′ ′′ 3. a.Calculer la dérivéehdehet la dérivée secondehdeh. ′ b.Étudier les variations dehsur I. 1 ′ − c.En déduire que pour toutxde I on a|h(x)| 6 e . 2 4.On considère la suite définie paru 0 =1 etu n+1 =h ( u n ) pour tout entier natu relndeN. 1 a.Montrer par récurrence que pour toutndeN: 6 u n 6 1. 2 b.En utilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que pour toutn deN: 1 − | u n+1 −x 0 | 6 e | u n −x 0 | . 2 1 n − 2 c.En déduire que pour toutndeN: | u n −x 0 | 6 e . 2 5. a.Déterminer le plus petit entier natureln 0 tel que pour tout entiernsu 1 n − − 2 périeur ou égal àn 0 e, on ait :<10 . 2 2 −2 b.Mo n 0 relativeme ntrer que : | u n −x 0 | < Que représente10 .unt àx 0 ? −2 Calculeru n à 10près par défaut. 0

E X E R C IC E 4 4points ³ ´ −→−→ Dans le plan rapporté au repère orthonormal directO,u,von considère les points A, B et C d’affixes respectives : p 6−i 2Z A Z A =,Z B =1−i,Z C =. 2Z B 1. a.ÉcrireZ C sous forme algébrique. b.Déterminer le module et un argument deZ A et deZ B . c.ÉcrireZ C ; en déduire les valeurs exactessous forme trigonométrique π π cos etde sin. 12 12 2.Soit I le point d’affixeZ I =1. a.Quelle est la nature du triangle OIB ?

Asie

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juin 1995

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

b.Déterminer les images de I et B dans la rotation de centre O et d’angle π . 12 En déduire la nature du triangle OAC.

E X E R C IC E points5 4 Pour tout entier natureln, on considère les intégrales : Z Z π π 2 2 −nx−nx I n =e sinxdxetJ n =e cosxdx. 0 0 1.CalculerI 0 etJ 0 . 2.Soitnun entier naturel non nul. a.En intégrant par partiesI n puisJ n montrer queI n etJ n vérifient le sys tème : ½ I n +n J n =1 nπ − 2 −n I n +J n =e b.En déduire, pournentier naturel non nul, les expressions deI n etJ n en fonction den. 3.limDéterminer :I n et limJ n . n→+∞n→+∞

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