Baccalauréat S La Réunion juin 2004

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S La Réunion juin 2004\ EXERCICE 1 4 points A - Lecture graphique 1. On lit graphiquement : • Si k < 0, l'équation n'a pas de solution ; • Si k = 0, l'équation a une solution (1) ; • Si 0< k < 1, l'équation a deux solutions ; • Si k = 1, l'équation a une solution (0) ; • Si k > 1, l'équation n'a pas de solution. 2. Pour n > 1, 0< 1 n < 1. D'après la question précédente, l'équation f (x)= k = 1 n a alors deux solutions distinctes. B - Définition et étude de deux suites 1. D'après le tableau de variations : • Sur l'intervalle [0 ; 1] la fonction f est continue et décroissante de f (0)= 1 à f (1)= 0. Or n > 1? 0< 1 n < 1 soit f (1)< 1 n < f 0. Il existe donc un réel unique un de [0 ; 1] tel que f (un )= 1 n . • Même raisonnement sur l'intervalle [1 ; +∞[ avec f croissante de 0 à 1.

• ?i


• image de l'axe imaginaire


• question précédente


• imagi- naire pur


• ex ?3


• ?x dx


• x??∞ ex


• ??

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2004
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

Durée:4heures
[BaccalauréatSLaRéunionjuin2004\
EXERCICE 1 4points
A-Lecturegraphique
1. Onlitgraphiquement:
? Sik?0,l’équationn’apasdesolution;
? Sik?0,l’équationaunesolution(1);
? Si0?k?1,l’équationadeuxsolutions;
? Sik?1,l’équationaunesolution(0);
? Sik?1,l’équationn’apasdesolution.
1 1
2. Pourn?1, 0? ?1.D’aprèslaquestionprécédente,l’équation f(x)?k?
n n
aalorsdeuxsolutionsdistinctes.
B-Définitionetétudededeuxsuites
1. D’aprèsletableaudevariations:
? Surl’intervalle [0; 1]lafonction f estcontinueetdécroissantede f(0)?1
à f(1)?0.
1 1
Orn?1)0? ?1soit f(1)? ? f0.
n n
1
Ilexistedoncunréeluniqueu de[0; 1]telque f u ? .( )n n
n
? Mêmeraisonnementsurl’intervalle[1 ;?1[avec f croissantede0à1.
1
Ilexisteunréeluniquev de[1;?1[telque f (v )? .n n
n
2. Constructiondeu , u , u , v , v , v .2 3 4 2 3 4
y
Δ
1
C
1y? 2
1
2 1y? 3
1
31
4 1y?
4
0
u vu u 4 4 v v xO 2 3 3 20 1 2
EXERCICE 2(Obligatoire) 5points
iz?20z ?
z?iBaccalauréatS A.P.M.E.P.
i?1?2
1. a. ImagedeB:z 0? ?1?i?z :Bestinvariantpar f ;B B
1?i?i
i(?1?i)?2
ImagedeC:z 0? ??1?i?z :Cestinvariantpar f.CC
?1?i?i
0b. SoitM d’affixedifférentedeietM sonimagepar f,alors:
¡ ¢iz?2 iz?2?iz?1 1
0 0z ?i? ?i? ,d’où z ?i (z?i)?1.
z?i z?i z?i
0c. Soit D l’image de D par f. On déduit de la question précédente que¡ ¢
z 0?i (1?i?1,cequisignifie:D
p
1 1 20 0– enmodulequeAD?OB=1,soitAD ? ? ? ;p
OB 22³ ´ ³ ´ ³ ´??! ??!!? !? ?! !?0 0– enargumentquearg u , AD ?arg u , AD ?0 [2π]soitarg u , AD ?
³ ´??!π !? ?! ?! π0? ,soitpuisqueu ?AB, AB, AD ?? .
4 4
OnpeutdoncconstruirelesymétriquedeDautourde(AB),puisl’image
1dece point dans l’homothétie de centre A et de rapport . D’oùla fi-2
gure:
2
D
1
AC B
!?
v 0D
!?O
?1 u 1
2. SoitunpointM d’affixez ducercledecentreAetderayonR?0,alors
1 10 0AM?R; or d’après la question 1. c., AM ?AM?1 () AM ? ? , ce
AM R
1
quisignifiequel’imagedeM appartientaucerclecentréenAetderayon .
R
iαUnpointM ducercleauneaffixedelaformez?i?Re ,avec06α?2πeton
a vu à la question précédente que son image a un argument égal à?α, donc
06?α?2π.
Conclusion :l’imaged’uncerclecentréenAetderayonR estlecerclecentré
1
enAetderayon .
R
?α?2 i(2?α)0 03. a. Si z?αi, α6?1, alors z ? ? ?βi. Donc z est un imagi-
αi?i 1?α
nairepur.
LaRéunion 2 juin2004
bbbbbBaccalauréatS A.P.M.E.P.
Doncl’imagedel’axeimaginaire(privédeA)estinclusdansl’axeimagi-
nairepur.
2?α
0 0Inversementsiz ?αi, α6?1,alorsz ?αi () z? i.
1?α
Toutpointdel’axeimaginairedifférentdeAaunantécédentsurcetaxe
imaginaireetdifférentdeA.
Conclusion : l’image de l’axe imaginaire privé de A est l’axe imaginaire
privédeA
b. SoitM unpointdeD;sisonabscisseestα(α6?0),sonaffixeestz?α?i.
¡ ¢ 1
0 0La relation trouvée au 1. b. s’écrit ici z ?i (α)? 1 () z ? ?i qui
α
10montrequeM appartientàladroiteD privéedeApuisque 6?0.
α
0 0DefaçonsymétriquetoutpointM deDapouraffixe:z ?α?i.Toujours
1
d’aprèslarelation1.b.onendéduitquez? ?iquiestunpointdeD.
α
Conclusion:ladroiteDprivéedeAapourimagepar f,ladroiteDprivée
deA.
EXERCICE 2(spécialité) 5points
1. Soitp unentierpremierimpair.
a. D’aprèslepetitthéorèmedeFermat,commep impairestpremieravec2,
p?1 p?1onsaitque2 ?1estdivisibleparp ouencore2 ?1?αp, avecα2N,
p?1soit2 ?1 [p].
kb. Inversementsoitk6?0telque2 ?1 [p](1).
Sik divisen,ilexisteα2Ntelquen?αk.
¡ ¢αk α kα(1)) 2 ?1 [p](1)ou2 ?1 [p]etfinalement:
n
2 ?1 [p]
bc. Soit b tel que 2 ? 1 [p], b étant le plus petit entier différent de zéro
vérifiantcettepropriété.
La division euclidienne den parb montre l’existence des entiersα etβ
telsquen?αb?β,avecβ?b.
n αb?β αb βSi2 ?1 [p],alors2 ?1 [p]() 2 ?2 ?1 [p].
b αb βOr2 ?1 [p])2 ?1 [p],donc2 ?1 [p],cequicontreditl’hypo-
thèse relative àb. Doncβ?0 et par conséquent n est multiple deb ou
encoreb nonnuldivisen.
q2. Soitq premierimpair, A?2 ?1etp undiviseurpremierde A.
q qa. Puisque A estunmultipledep,ona2 ?1?0 [p]() 2 ?1 [p].
b. p ne peut être pair, puisque le seuk pair premier est 2 et A impair n’est
pasmultiplede2.
b qc. Soitb lepluspetitentiertelque2 ?1 [p]etq vérifieaussi2 ?1 [p].
D’après le résultat de 1. c. on sait alors que b divise q; mais q premier
impairn’apourdiviseurque1etq :
1– sib?1onaurait2 ?1 [p]cequiestfauxcarp estaumoinségal
à3;
– doncb?q
d. p,premier impair est premier avec 2, donc le petit théorème deFermat
p?1 p?1permetd’écrire:2 ?1?0 [p]() 2 ?1 [p].
qq étantlepluspetitentiertelque2 ?1 [p],onendéduitqueq6p?1
etd’aprèslerésultatdelaquestion1.c.,q divisep?1.
LaRéunion 3 juin2004BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Orpimpairimpliquequep?1estpair:ilexisteα2Ntelquep?1?2α.
Donc q divise 2α et d’après le théorème de Gauss comme q est impair
doncpremieravec2,ildiviseα.Ilexistedonck2Ntelqueα?kq.
Onadoncp?1?2kq?2(kq) () p?1?0 [2q]soitfinalement
p?1 [2q].
173. OnaA ?2 ?11
D’aprèslerésultatprécédent17étantunimpairpremier,toutfacteurpremier
p deA vérifiep?1 [2?17] () p?1 [34] () p?34α?1,avecα2N.1
Lesentiers103,137,239et307sontlesentierspremiersinférieursà400dela
2forme34α?1;aucund’euxnediviseA etcomme400 ?A ,onendéduitque1 1
A estpremier.1
EXERCICE 3 5points
PartieA
120
1. Onaiciuneloibinomialedeparamètresp? etn?6000.
6000
On sait que la probabilité d’avoir exactement 3 adresses inexactes sur 10 ti-
ragesest: Ã !µ ¶ µ ¶3 710 120 120
1?
3 6000 6000
Réponsec.
2. Avecdesnotationsévidentes:
0,98
E
B0,6 1
E0,02
0,95
E
0,4 B2
E0,05
Commep(E)6?0,ona:
p(B \E) p(B \E) 0,6?0,981 1
p (B )? ? ? .E 1
p(E) p(B )?p (E)?p(B )?p (E) 0,6?0,98?0,4?0,951 B 2 B1 2
Réponsed.
PartieB
R2500 ?0,0005?x1. Laprobabilitécherchéeest:1?p([0; 2500[)?1? 0,0005e dx?0£ ¤ 52500?0,0005x ?0,0005?2500 ?1,25 ?
41? ?e ?1?e ?1?e ?e .0
Réponsea.
2. ? Touteslesfonctionsétantcontinuesetleursdérivéescontinues,onpeut
intégrerparparties:
?λxu?x dv?λe
?λxdu?1 v??e
· ¸tR £ ¤ R 1tt t?λx ?λx ?λx ?λx ?λxDonc λxe dx? ?xe ? e dx? ?xe ? e ?0 0 0 λ 0
?λt1?e?λt?te ? .
λ
Réponseb.
LaRéunion 4 juin2004BaccalauréatS A.P.M.E.P.
? Limitedel’intégraleprécédente.
Commeλ?0,ona:
?λt- lim te ?0;
t!?1
?λt1?e 1
- lim ? ?2000.
t!?1 λ λ
Réponseb.
EXERCICE 4 6points
2 2 0 21. a. Ona[f(x)] >0)1?[f (x)] >1)[f (x)] ?0.
0Conclusion:quelquesoitx, f (x)6?0.
2b. Lapremièrerelationappliquéeàx?0donne[f(0)] ?1?1?0) f(0)?
0.
2. Endérivantlarelation(1):
0 00 0 0 002f (x)f (x)?2f(x)f (x)?0() (car f (x)6?0)f (x)?f(x)?0 (4)quelque
soitx2R.
0 03. u?f ?f etv? f ?f.
0a. u(0)?f(0)?f (0)?0?1?1
0v(0)?f (0)?f (0)?1?0?1.
0b. f étantdérivable,u etv lesontaussi:
0 00 0 0 0 00 0 0u ?f ?f ?f ?f ?u etv ? f ?f ?f ?f ??v.
x ?xc. Onendéduitqueu?K e etquev?K e quelquesoitx2R.1 2
u?v0 0d. Onau?v?f ?f ?f ?(?f)?2f )f ? .
2
x ?xe ?e
Quelquesoitx2R, f(x)? .
2
?x x4. a. Comme lim e ?0et lim e ??1, lim f(x)??1.
x!?1 x!?1 x!?1
x ?xInversementcomme lim e ?0et lim e ??1, lim f(x)??1.
x!?1 x!?1 x!?1
b. f sommedefonctionsdérivablesestdérivablesurRet
x ?xe ?e0 uf (x)? ? 0 car e ? 0 quel que soit u. La fonction f est donc
2
croissantesurR.
x ?1 ?1
0 ?f (x)
?1
f
?1
5. a. D’aprèsletableaudevariationsprécédent,la fonction f étantcontinue
sur R et croissante sur R, l’équation f(x)? m, m 2R a une solution
uniqueα.
b. Application:résolutiondel’équation f(x)?3.
x ?xe ?e 1x ?x xOnaf(x)?3() ?3() e ?e ?6() e ? ?6?0()
x2 e
x 2 x x 2 x 2[e ] ?6e ?1? 0 () (e ?3) ?9?1?0 () (e ?3) ?10?0 ()p½ x¡ p ¢¡ p ¢ e ?3? 10 ? 0x x pe ?3? 10 e ?3? 10 ?0() ()xe ?3? 10 ? 0
LaRéunion 5 juin2004BaccalauréatS A.P.M.E.P.
p½ xe ? 3? 10p
xe ? 3? 10
p
Ladeuxièmeéquationn’apasdesolutiondansRcar3? 10?0.
La première implique en appliquant la fonction logarithme népérien :¡ p ¢
x?ln 3? 10 .
?2Unecalculatricedonne:α?1,82à10 près.
LaRéunion 6 juin2004