Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie\ 15 novembre 2010 EXERCICE 1 7 points Commun à tous les candidats PARTIE A : restitution organisée de connaissances On suppose connus les résultats suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b ? si pour tout x ? [a ; b] u(x)> 0 alors ∫b a u(x)dx > 0 ? ∫b a [u(x)+ v(x)]dx = ∫b a u(x)dx+ ∫b a v(x)dx ? ∫b a ?u(x)dx =? ∫b a u(x)dx où ? est un nombre réel. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si pour tout x de [a ; b], f (x)6 g (x) alors : ∫b a f (x)dx 6 ∫b a g (x)dx. PARTIE B : Soit ? la fonction définie sur l'intervalle [1 ; +∞[ par ?(x)= 1+ x2?2x2 lnx. 1. a. Étudier le sens de variation de la fonction ? sur l'intervalle [1 ; +∞[.

• nature du triangle oa?b?


• repère orthonormé direct


• loi de probabilité de lavariable aléatoire


• affixe za? de a?


• boules vertes


• première boule


• variable aléatoire


• triangle oab


• points commun

Sujets

• Variable aléatoire

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 novembre 2010
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Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat S NouvelleCalédonie\ 15 novembre 2010

E X E R C IC E points1 7 Commun à tous les candidats PARTIE A : restitution organisée de connaissances On suppose connus les résultats suivants : Soientuetvdeux fonctions continues sur un intervalle [a;b] aveca<b Z b ⋆si pour toutx∈[a;b]u(x) > 0 alorsu(x) dx > 0 a Z ZZ b bb ⋆[u(x)+v(x)] dx=u(x) dx+v(x) dx a aa Z Z b b ⋆αu(x) dx=αu(x) dxoùαest un nombre réel. a a Démontrer que sifetgsont deux fonctions continues sur un intervalle [a;b] avec a<bet si pour toutxde [a;b],f(x) 6 g(x) alors : Z Z b b f(x) dx 6 g(x) dx. a a

PARTIE B : Soitϕla fonction définie sur l’intervalle [1 ;+∞[ par

2 2 ϕ(x)=1+x−2xlnx. 1. a.Étudier le sens de variation de la fonctionϕsur l’intervalle [1 ;+∞[. b.Calculerϕ(e). Démontrer que l’équationϕ(x)=0 admet une unique so lutionα; e]. Déterminer un encadrement desur l’intervalle [1αd’am −1 plitude 10. c.Déterminer le signe deϕ(x) suivant les valeurs dex. 2.Soitfla fonction définie sur l’intervalle [1 ;+∞[ par lnx f(x)=. 2 1+x ′ On notefla fonction dérivée def. ϕ(x) ′ ′ a.Calculerf(x) et montrer que pour toutx > 1 on a :f(x)=. ¡ ¢ 2 2 x1+x b.Déduire de la question 1. le sens de variation de la fonctionfsur l’inter valle [1 ;+∞[. c.Démontrer que pour toutxappartenant à l’intervalle [1 ;+∞[ on a : lnx 0 6 f(x) 6 . 2 x d.limEn déduiref(x). x→+∞ Z e lnx2 3. a.dÀ l’aide d’une intégration par parties, montrer quex=1−. 2 1 xe

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

b.On noteCla courbe représentative de la fonctionf, dans un repère or ³ ´ −→−→ thonormé O,ı,d’unité graphique 1 cm. 2 SoitAl’aire exprimée en cmdu domaine compris entre la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=1 etx=e. Déterminer un encadrement deA.

E X E R C IC E points2 5 Candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé directO,u,vd’unité gra phique 2 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respectives

z A = −2i,z B = −3+i etz C =3+i.

1. a.Écrirez A ,z B etz C sous forme exponentielle. b.En déduire le centre et le rayon du cercleΓpassant par les points A, B et C. c.Faire une figure et placer le point A, tracer le cercleΓpuis placer les points B et C. z B −z A 2. a.sous forme algébrique puis sous forme expoÉcrire le quotient z C −z A nentielle. b.En déduire la nature du triangle ABC . π 3.On noterradians.la rotation de centre A et d’angle mesurant 3 ′ a.Montrer que le point O , image de O parr, a pour affixe−3−i. ′ b.sont diamétralement opposés sur leDémontrer que les points C et O cercleΓ. ′ c.Tracer l’imageΓdu cercleΓpar la rotationr. ′ d.Justifier que les cerclesΓetΓse coupent en A et B. 4. a.Déterminer l’ensemble (E) des pointsMd’affixeztels que p |z| = ¯ z+3+i ¯ .

b.Montrer que les points A et B appartiennent à (E).

E X E R C IC E points2 5 Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité ³ ´ −→−→ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé directO,u,v. On considère la similitude indirectefd’écriture complexe ³ ´ p ′ z=1+i 3z oùzdésigne le conjugué dez. p p Soient les points A et B d’affixes respectivesz A =6+i 2etz B = −2+i 6. ′ ′ On note Aet Bles images respectives des points A et B parf. Une figure fournie en ANNEXE du sujet, sera complétée et rendue avec la copie. Les différentes constructions seront faites à la règle et au compas, et les traits de construction devront apparaître clairement.

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

1. a.Écrire les affixes des points A et B sous forme exponentielle. b.Montrer que le triangle OAB est rectangle isocèle direct. ′ ′ c.En déduire la nature du triangle OA B . ′ d.Montrer que l’affixez ′ ′ A de Avérifie l’égalité :z=2z A . A ′ ′ En déduire la construction de Aet B . π 2.On noter, etla rotation de centre O et d’angle de mesuresla symétrie 3 ³ ´ −→ orthogonale d’axeO ;u. On poseg=r◦s. a.Déterminer l’écriture complexe de la transformationg. b.Montrer que les points O et A sont invariants parg. c.En déduire la nature de la transformationg. 3. a.Montrer que l’on peut écriref=h◦g, oùhest une homothétie de centre et de rapport à déterminer. b.Sur la figure placée enANNEXE, un point C est placé. Faire la construc ′ tion de l’image Cde C par la transformationf.

E X E R C IC E 3 Commun à tous les candidats

4 points

Une urne contient cinq boules indiscernables au toucher : deux vertes et trois rouges.

Les questions 1. et 2. sont indépendantes

1.On extrait simultanément et au hasard deux boules de l’urne. On noteXla variable aléatoire égale au nombre de boules vertes figurant dans le tirage. 3 a.Vérifier queP(X=0)=puis déterminer la loi de probabilité de la 10 variable aléatoireX. b.Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireX. c.Calculer la probabilité de l’évènement suivant : A : « les deux boules tirées sont de même couleur ». 2.On effectue deux tirages successifs d’une boule en respectant la règle sui vante : si la boule tirée est rouge, on la remet dans l’urne ; si elle est verte, on ne la remet pas.

a.En utilisant un arbre pondéré, calculer la probabilité des évènements suivants : B : « seule la première boule tirée est verte », C : « une seule des deux boules tirées est verte ». b.Sachant que l’on a tiré exactement une boule verte, quelle est la proba bilité que cette boule verte soit la première tirée ?

E X E R C IC E 4 Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→ −→ L’espace est muni d’un repère orthonorméO,ı,,k.

4 points

L’objectif de cet exercice est de déterminer la position relative d’objets de l’espace

−→ Pest le plan passant par A(3 ; 1 ; 2) et de vecteur normaln(1 ;−4 ;1) ;

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

−→ Dest la droite passant par B(1 ; 4 ; 2) de vecteur directeuru1 ; 3).(1 ; Sest la sphère de centreΩ(1 ; 9 ; 0) passant par A. 1.Intersection du planPet de la droiteD. a.Démontrer que le planPa pour équation cartésienne :x−4y+z−1=0. b.Montrer que la droiteDest strictement parallèle au planP. 2.Intersection du planPet de la sphèreS. a.Calculer la distanceddu pointΩau planP. b.Calculer le rayon de la sphèreS. En déduire l’intersection du planPet de la sphèreS. 3.Intersection de la droiteDet de la sphèreS. a.Déterminer une représentation paramétrique de la droiteD. b.Déterminer une équation cartésienne de la sphèreS. c.En déduire que la droiteDcoupe la sphèreSen deux pointsMetN distincts dont on ne cherchera pas à déterminer les coordonnées.

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Baccalauréat S

ANNEXE

EXERCICE 2

Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité

6

5

4

3 B 2

1

À rendre avec la copie

C

A

A. P. M. E. P.

O −4−3−2−1 12 3 4 5 6 7 8 −1

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−2

−3

−4

5

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