Baccalauréat S Pondichéry avril

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Pondichéry 18 avril 2012 \ EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Les deux parties sont indépendantes. Partie A Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n'est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour su- bir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l'issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l'issue de plusieurs étapes. 1. À l'issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ? 2. On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel : – « rand(1, 50) » permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appar- tenant à l'intervalle [1 ; 50] – l'écriture « x := y » désigne l'affectation d'une valeur y à une va- riable x. Variables a,b,c,d ,e sont des variables du type entier Initialisation a := 0 ; b := 0 ; c := 0 ; d := 0 ; e := 0 Traitement Tant que (a = b) ou (a = c) ou (a = d) ou (a = e) ou (b = c) ou (b = d) ou (b = e) ou (c = d) ou (c = e) ou

• course cycliste


• arrivée de la course


• point c?


• probabilité


• point d'affixe zc


• affixe zc? du point c?


• loi de la probabilité de la variable aléatoire


• points commun


• repère orthonormal direct

Sujets

• Cyclisme
• Probabilité

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 avril 2012
• Nombre de lectures: 13
• Langue: FrançaisFrançais

Extrait

[BaccalauréatSPondichéry18avril2012\
EXERCICE 1 6points
Communàtouslescandidats
Lesdeuxpartiessontindépendantes.
PartieA
Ungroupede50coureurs,portantdesdossardsnumérotésde1à50,participe
à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun
abandonn’estconstaté.
Àlafindechaqueétape,ungroupede5coureursestchoisiauhasardpoursu-
biruncontrôleantidopage.Cesdésignationsde5coureursàl’issuedechacune
des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à
l’issuedeplusieursétapes.
1. Àl’issuedechaqueétape,combienpeut-onformerdegroupesdifférents
de5coureurs?
2. Onconsidèrel’algorithmeci-dessousdanslequel:
– «rand(1, 50)»permetd’obtenirunnombreentieraléatoireappar-
tenantàl’intervalle[1;50]
– l’écriture «x :? y » désigne l’affectation d’une valeur y à une va-
riablex.
Variables a,b,c,d,e sontdesvariablesdutypeentier
Initialisation a:?0;b:?0;c:?0;d :?0;e:?0
Traitement Tant que (a ? b) ou (a ? c) ou (a ? d) ou (a ? e) ou
(b? c) ou (b? d) ou (b? e) ou (c ? d) ou (c ? e) ou
(d?e)
Débutdutantque
a:?rand(1, 50);b:?rand(1, 50) ;
c :?rand(1, 50);d :?rand(1, 50) ;
e:?rand(1, 50)
Findutantque
Sortie Afficher a,b,c,d,e
a. Parmiles ensemblesde nombressuivants,lesquelsontpuêtreob-
tenusaveccetalgorithme:
L ?{2; 11; 44; 2; 15};L ?{8,17,41,34,6};1 2
L ?{12,17,23,17,50};L ?{45,19,43,21,18}?3 4
b. Quepermetderéalisercetalgorithmeconcernantlacoursecycliste?
3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 par-
ticipants. Établir que la probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu
pourcetteétapeestégaleà0,1.
4. Onnote X lavariablealéatoirequicomptabiliselenombrede contrôles
subisparuncoureursurl’ensembledes10étapesdelacourse.BaccalauréatS A.P.M.E.P.
a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser
sesparamètres.
b. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer,
sousformedécimalearrondieaudix-millième,lesprobabilitésdes
évènementssuivants:
– ilaétécontrôlé5foisexactement;
– iln’apasétécontrôlé;
– ilaétécontrôléaumoinsunefois.
PartieB
Danscettepartie,toutetracederecherchemêmeincomplète,oud’initiativemême
nonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
Ondonneralesrésultatssousformedefractionirréductible.
Pouruncoureurchoisiauhasarddansl’ensembledes50coureurs,onappelle
T l’évènement:«lecontrôleestpositif»,etd’aprèsdesstatistiques,onadmet
queP(T)?0,05.
OnappelleD l’évènement:«lecoureurestdopé».
Lecontrôleanti-dopagen’étantpasfiableà100%,onsaitque:
– siuncoureurestdopé,lecontrôleestpositifdans97%descas;
– siuncoureurn’estpasdopé,lecontrôleestpositifdans1%descas.
1. CalculerP(D).
2. Uncoureurauncontrôlepositif.Quelleestlaprobabilitéqu’ilnesoitpas
dopé?
EXERCICE 2 4points
Communàtouslescandidats
? ?!?!? !?
Danslerepèreorthonormé O, ı , | , k del’espace,onconsidère:
0– lesplansP etP d’équations:
0P : x?y?z?2?0 et P : x?y?3z?0.
– ladroiteD ayantpourreprésentationparamétrique:
8
x ? ?3?2t<
y ? 2t t2R.
:
z ? 1?2t
Pourchacunedespropositionssuivantes,indiquersielleestvraieoufausse,et
justifierlaréponse.Unejustificationestattenduepourchaqueréponse.
Proposition1
LadroiteD estorthogonaleauplanP.
Proposition2
LasphèreS decentreOetderayon2esttangenteauplanP.
Proposition3
Pondichéry 2 18avril2012BaccalauréatS A.P.M.E.P.
0L’intersectiondes plansP etP est ladroiteΔ dontunereprésentationpara-
métriqueest:
8 0x ? 1?t<
0 0y ? ?1?2t t 2R.
: 0z ? t
Proposition4
LesdroitesD etΔsontcoplanaires.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelessuites(I )et(J )définiespourtoutentiernatureln par:n n
Z Z?nx ?nx1 1e e
I ? dx et J ? dx.n n 21?x (1?x)0 0
1. Sontreprésentéesci-dessouslesfonctions f définiessurl’intervalle[0;1]n
par
?nxe
f (x)?n
1?x
pourdifférentesvaleursden :
1,1
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
f0
0,5
0,4
0,3
f1
0,2
f2
0,1
f3
0
O0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
Pondichéry 3 18avril2012BaccalauréatS A.P.M.E.P.
a. Formuleruneconjecturesurle sensdevariationde lasuite(I ) enn
expliquantladémarche.
b. Démontrercetteconjecture.
2. a. Montrer que pour tout entier n> 0 et pour tout nombre réel x de
l’intervalle[0;1]:
?nx ?nxe e ?nx06 6 6e .
2(1?x) 1?x
b. Montrerque les suites (I ) et (J ) sont convergentes et déterminern n
leurlimite.
3. a. Montrer,eneffectuantuneintégrationparparties,quepourtouten-
tiern>1:
? ??n1 e
I ? 1? ?J .n n
n 2
b. Endéduire lim nI .n
n!?1
EXERCICE 4 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
PartieA Restitutionorganiséedeconnaissances
Soit z un nombre complexe. On rappelleque z est le conjuguéde z et quejzj
2estlemoduledez.Onadmetl’égalité:jzj ?zz.
j j j jj jMontrerque,siz et z sontdeuxnombrescomplexes,alors z z ? z z .1 2 1 2 1 2
PartieB: Étuded’unetransformationparticulière
? ?!? !?
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct O, u , v , on
désigneparAetBlespointsd’affixesrespectives1et?1.
Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z 6? 1, associe le
0 0pointM d’affixez telque:
1?z0z ?
z?1
1. SoitClepointd’affixez ??2?i.C
0
0a. Calculerl’affixe z dupointC imagedeCparlatransformation f,C
0etplacerlespointsCetC danslerepèredonnéenannexe.
0b. Montrer que le point C appartient au cercleC de centre O et de
rayon1.
0c. MontrerquelespointsA,CetC sontalignés.
2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensembleΔ
despointsduplanquiontlepointApourimageparlatransformation f.
03. Montrerque, pourtoutpoint M distinctde A, le point M appartientau
cercleC.
Pondichéry 4 18avril2012BaccalauréatS A.P.M.E.P.
0z ?1
4. Montrerque,pourtoutnombrecomplexez6?1, estréel.
z?1
0Quepeut-onendéduirepourlespointsA,M etM ?
5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son
0imageD parlatransformation f.
EXERCICE 4 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
PartieA Restitutionorganiséedeconnaissance
Soita,b,c,d desentiersrelatifsetn unentiernaturelnonnul.
Montrerquesi a?b (mod n)etc?d (mod n)alorsac?bd (mod n).
PartieB Inversede23modulo26
Onconsidèrel’équation
(E) : 23x?26y?1,
oùx et y désignentdeuxentiersrelatifs.
1. Vérifierquelecouple(?9;?8)estsolutiondel’équation(E).
2. Résoudrealorsl’équation(E).
3. Endéduireunentiera telque06a625et23a?1 (mod 26).
PartieC ChiffrementdeHill
Onveutcoderunmotdedeuxlettresselonlaprocéduresuivante:
Étape1Chaquelettredumotestremplacéeparunentierenutilisantletableau
ci-dessous:
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On obtient un couple d’entiers (x ; x ) où x correspond à la première lettre1 2 1
dumotetx correspondàladeuxièmelettredumot.2 ? ?
Étape2(x ; x )esttransforméen y ; y telque:1 2 1 2
?
y ? 11x ?3x (mod 26)1 1 2S avec06y 625et06y 625.( )1 1 2
y ? 7x ?4x (mod 26)2 1 2
? ?
Étape3 y ; y esttransforméenunmotdedeuxlettresenutilisantletableau1 2
decorrespondancedonnédansl’étape1.
étape1 étape2 étape3
Exemple: TE ?) (19,4) ?) (13,19) ?) NT|{z} |{z}
motenclair motcodé
1. CoderlemotST.
Pondichéry 5 18avril2012BaccalauréatS A.P.M.E.P.
2. Onveutmaintenantdéterminerlaprocédurededécodage:
a. Montrerquetoutcouple(x ; x )vérifiantleséquationsdusystème1 2
S ,vérifieleséquationsdusystème:( )1
?
23x ? 4y ?23y (mod 26)1 1 2
(S )2
23x ? 19y ?11y (mod 26)2 1 2
b. Àl’aidedelapartieB,montrerquetoutcouple(x ; x )vérifiantles1 2
équationsdusystème(S ),vérifieleséquationsdusystème2
?
x ? 16y ?y (mod 26)1 1 2
(S )3 x ? 11y ?5y (mod 26)2 1 2
c. Montrerquetoutcouple(x ; x )vérifiantleséquationsdusystème1 2
S ,vérifieleséquationsdusystème S( ) ( )3 1
d. DécoderlemotYJ.
Pondichéry 6 18avril2012BaccalauréatS A.P.M.E.P.
Annexeàrendreaveclacopie
EXERCICE4
!?
v
!?O
D u
Pondichéry 7 18avril2012
b