Corrige Bac Mathematiques Specialite 2007 S
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Durée:4heures[CorrigédubaccalauréatSNouvelle-Calédoniemars2007\(spécialité)EXERCICE 1 5pointsCommunàtouslescandidats ³ ´→−→− →−Pourtoutcetexercice,l’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O, ı ,  , k .1. QuestiondecoursÉtablir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal¡ ¢→−n (a, b, c)etunpointM x , y , z .0 0 0 0a(x−x )+b(y−y )+c(z−z )=0.0 0 0    −4 5−→ −→   2. a. ConsidéronsparexemplelesvecteursAB −1 etBC 5 .Cesvec-7 −5teursnesontmanifestement pascolinéaires.LestroispointsdistinctsA,BetCdéfinissentunplanP.b. A∈P ⇐⇒ 2×1−2+(−3)+3=0:Vrai.B∈P ⇐⇒ 2×(−3)−1+4+3=0:Vrai.C∈P ⇐⇒ 2×2−6+(−1)+3=0:Vrai.L’équationduplan(ABC)estbien:M(x ; y ; z)∈(ABC) ⇐⇒ 2x−y+z+3=0.c. I(−5 ; 9 ; 4). On a vu à la question de cours que les coordonnées d’un 2→−  vecteurnormalauplan(ABC)estlevecteur u −1 .Cevecteurestun1vecteurdirecteurdeladroiteD.Entraduisantl’égalitévectorielle−−→ →−IM =αu avecα∈R,onobtientlesystème: x−(−5) = 2α x = −5+2α y−9 = −α ⇐⇒ y = 9−α α∈R z−4 = α z = 4+αd. LescoordonnéesdupointJ,intersection deladroiteD etduplan(ABC)vérifientlesystèmeprécédentetl’équation duplan(ABC).Onadonc:x = −5+2αy = 9−α ⇒2(−5+2α)−(9−α)+4+α+3=0 z = 4+α2x−y+z+3 = 0⇐⇒ 6α−12=0 ⇐⇒ α=2.LescoordonnéesdupointJsontdonc(−1; 7; 6).e. La distance du point I au plan (ABC) est IJ puisqueD est perndiculaire2 2 2 2auplan(ABC).OrIJ =(−1+5) +7−9) +(6−4) =16+4+4=24.Doncp pIJ= 24=2 6. p p| |2×(−5)−9+4 12 12 6Onpeutvérifierqued(I,P)= = = =2 6.p p2 2 2 ...

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Extrait

Durée : 4 heures
[Corrigé du baccalauréat S NouvelleCalédonie mars 2007\ (spécialité)
EX E R C IC E15 points Commun à tous les candidats ³ ´ Pour tout cet exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k. 1.Question de cours Établir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal ¡ ¢ −→ n(a,b,c) et un pointM0x0,y0,z0. a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0.    4 5    2. a.Considérons par exemple les vecteurs AB. Ces vecBC 51 et 75 teurs ne sont manifestement pas colinéaires. Les trois points distincts A, B et C définissent un planP. b.AP⇐⇒2×12+(3)+3=0 : Vrai. BP⇐⇒2×(3)1+4+3=0 : Vrai. CP⇐⇒2×26+(1)+3=0 : Vrai. L’équation du plan (ABC) est bien :
M(x;y;z)(ABC)⇐⇒2xy+z+3=0.
c.I(5 ; 9 ; 4). On a vu à la question de cours que les coordonnées d’un   2 −→   vecteur normal au plan (ABC) est le vecteuru1 .Ce vecteur est un 1 vecteur directeur de la droiteD. En traduisant l’égalité vectorielle IM=αuavecαR, on obtient le système :   x(5)=2αx= −5+2α   y9= −α⇐⇒y=9α αR   z4=αz=4+α
d.Les coordonnées du point J, intersection de la droiteDet du plan (ABC) vérifient le système précédent et l’équation du plan (ABC). On a donc : x= −5+2α y=9α 2(5+2α)(9α)+4+α+3=0 z=4+α 2xy+z+3=0 ⇐⇒6α12=0⇐⇒α=2. Les coordonnées du point J sont donc (1 ; 7 ; 6). e.La distance du point I au plan (ABC) est IJ puisqueDest perndiculaire 2 22 2 au plan (ABC). Or IJ=(1+5)+79)+(64)=16+4+4=24. Donc p IJ=24=2 6. p |2×(5)9+4|12 126p On peut vérifier qued(I,P)= == =2 6. 2 2 26 2+(1)+1 6
EX E R C IC E2 Commun à tous les candidats
4 points
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