Durée:4heures[CorrigédubaccalauréatSNouvelle-Calédoniemars2007\(spécialité)EXERCICE 1 5pointsCommunàtouslescandidats ³ ´→−→− →−Pourtoutcetexercice,l’espaceestmunid’unrepèreorthonormal O, ı , , k .1. QuestiondecoursÉtablir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal¡ ¢→−n (a, b, c)etunpointM x , y , z .0 0 0 0a(x−x )+b(y−y )+c(z−z )=0.0 0 0 −4 5−→ −→ 2. a. ConsidéronsparexemplelesvecteursAB −1 etBC 5 .Cesvec-7 −5teursnesontmanifestement pascolinéaires.LestroispointsdistinctsA,BetCdéfinissentunplanP.b. A∈P ⇐⇒ 2×1−2+(−3)+3=0:Vrai.B∈P ⇐⇒ 2×(−3)−1+4+3=0:Vrai.C∈P ⇐⇒ 2×2−6+(−1)+3=0:Vrai.L’équationduplan(ABC)estbien:M(x ; y ; z)∈(ABC) ⇐⇒ 2x−y+z+3=0.c. I(−5 ; 9 ; 4). On a vu à la question de cours que les coordonnées d’un 2→− vecteurnormalauplan(ABC)estlevecteur u −1 .Cevecteurestun1vecteurdirecteurdeladroiteD.Entraduisantl’égalitévectorielle−−→ →−IM =αu avecα∈R,onobtientlesystème: x−(−5) = 2α x = −5+2α y−9 = −α ⇐⇒ y = 9−α α∈R z−4 = α z = 4+αd. LescoordonnéesdupointJ,intersection deladroiteD etduplan(ABC)vérifientlesystèmeprécédentetl’équation duplan(ABC).Onadonc:x = −5+2αy = 9−α ⇒2(−5+2α)−(9−α)+4+α+3=0 z = 4+α2x−y+z+3 = 0⇐⇒ 6α−12=0 ⇐⇒ α=2.LescoordonnéesdupointJsontdonc(−1; 7; 6).e. La distance du point I au plan (ABC) est IJ puisqueD est perndiculaire2 2 2 2auplan(ABC).OrIJ =(−1+5) +7−9) +(6−4) =16+4+4=24.Doncp pIJ= 24=2 6. p p| |2×(−5)−9+4 12 12 6Onpeutvérifierqued(I,P)= = = =2 6.p p2 2 2 ...
[Corrigé du baccalauréat S NouvelleCalédonie mars 2007\ (spécialité)
EX E R C IC E15 points Commun à tous les candidats ³ ´ −→−→−→ Pour tout cet exercice, l’espace est muni d’un repère orthonormalO,ı,,k. 1.Question de cours Établir l’équation cartésienne d’un plan dont on connaît un vecteur normal ¡ ¢ −→ n(a,b,c) et un pointM0x0,y0,z0. a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0. −4 5 −→−→ 2. a.Considérons par exemple les vecteurs AB−. Ces vecBC 51 et 7−5 teurs ne sont manifestement pas colinéaires. Les trois points distincts A, B et C définissent un planP. b.A∈P⇐⇒2×1−2+(−3)+3=0 : Vrai. B∈P⇐⇒2×(−3)−1+4+3=0 : Vrai. C∈P⇐⇒2×2−6+(−1)+3=0 : Vrai. L’équation du plan (ABC) est bien :
M(x;y;z)∈(ABC)⇐⇒2x−y+z+3=0.
c.I(−5 ; 9 ; 4). On a vu à la question de cours que les coordonnées d’un 2 −→ vecteur normal au plan (ABC) est le vecteuru−1 .Ce vecteur est un 1 vecteur directeur de la droiteD. En traduisant l’égalité vectorielle −→−→ IM=αuavecα∈R, on obtient le système : x−(−5)=2αx= −5+2α y−9= −α⇐⇒y=9−α α∈R z−4=αz=4+α
d.Les coordonnées du point J, intersection de la droiteDet du plan (ABC) vérifient le système précédent et l’équation du plan (ABC). On a donc : x= −5+2α y=9−α ⇒2(−5+2α)−(9−α)+4+α+3=0 z=4+α 2x−y+z+3=0 ⇐⇒6α−12=0⇐⇒α=2. Les coordonnées du point J sont donc (−1 ; 7 ; 6). e.La distance du point I au plan (ABC) est IJ puisqueDest perndiculaire 2 22 2 au plan (ABC). Or IJ=(−1+5)+7−9)+(6−4)=16+4+4=24. Donc p IJ=24=2 6. p |2×(−5)−9+4|12 126p On peut vérifier qued(I,P)= == =2 6. 2 2 26 2+(−1)+1 6