Exercices du bac et traduction pour Xcas

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Exercices du bac et traduction pour Xcas Renée De Graeve avec la participation de B. Parisse et G. Connan 14 mars 2007

• affi hage


• table des matières


• ??? mg


• traduction pour xcas


• exercices du bac


• session ba

Sujets

• Sommaire
• bac

Informations

• Publié par: profil-insu-2012
• Publié le: 01 mars 2007
• Nombre de lectures: 151
• Langue: Français

Extrait

Exercices du bac et traduction pour
Xcas
Renée De Graeve
avec la participation de B. Parisse et G. Connan
14 mars 2007Table des matières
I - Sujet 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II - Sujet 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III - Sujet 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV - Sujet 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
V - Sujet 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
VI - Sujet 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VII - Sujet 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VIII -Sujet 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
IX - Sujet 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
X - Sujet 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
XI - Sujet 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
XII - Sujet 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
XIII -Sujet 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
XIV -Sujet 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
XV - Sujet 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
XVI -Sujet 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
XVII S- ujet 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
XVIIIS-ujet 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
XIX -Sujet 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
XX - Sujet 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
XXI -Sujet 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1u(n+ 1)= u(n)+ a∗ n+ b
Trouver u(n) en fonction de n.
On exécute le fichier qui utilise le tableur (formel) et des valeurs particulières, le graphe et un programme
que voici :
− ∗
En faisant ce programme itératif on remarque qu’à la k-ième étape on ajoute à la valeur précedente et car
u(n)= u(n− 1)+ a∗(n− 1)+ b.
On ajoute à chaque étape donc, au bout de étapes on aura ajouté , et on ajoute à la k-ième étape donc, au
bout de étapes on aura ajouté
On tape pour avoir la valeur factoriser de (1+ 2+...+(n− 1)) :
et on obtient :
On écrit donc la fonction :
Voir aussi qui recherche A,B,C pour que :
2u(n)= A∗ n + B∗ n+C en résolvant le système linéaire d’inconnues A,B,C :
u(0)= C,
u(1)= A+ B+C,
u(2)= 4∗ A+ 2∗ B+C
On a :
u(1) = u(0)+ 0+ b
u(2) = u(1)+ a+ b
u(3) = u(2)+ 2∗ a+ b
...
u(n) = u(n− 1)+(n− 1)∗ a+ b
en ajoutant membre à membre on obtient :
u(n)= u(0)+(1+ 2+...(n− 1))∗ a+ n∗ b
donc :
u(n)= u(0)+ n∗(n− 1)∗ a/2+ n∗ b
2
v
e
b
t
u
)
n
;
A
}
=(1
r
a
+
e
u
l
b
u
u(n,u0,a,b)
a
:=u0+n*(n-1)*a/2+
(n
n*
{
b
l
a
=
l
n
(
=
v
n
a
Xcas
l
n
d?monstration
,
La
1*a+2*a+...+(n-1)
b.
+.
+
))*
(k-1)*a
:
(
o
k
v
b
i
1
n
)
)
a
u
0
0
;
l
f
}
o
v
b
(k-1)*a
r

(

k
(
:
,
=
0
1
n*b
;
,
k
*a

+2
n-
..+
1))
-1
<
a
=
)
n
=
;
l
k

+
l
+
a
)
;
{
f
v
(
a
=
l
0
n*(n-1)/2
r
:
t
=
r
n
u
o
;
r
a
m
:
I
u
-
;
n
a
Sujet

1
r
a.
uDans le plan 4 points O,A,B,C et un cercle E de centre O. À tout point M sur E on
associe N tel que :
−→ −→ −→ −→
MN = a∗ MA+ b∗ MB+ c∗ MC
où a,b,c sont des réels donnés. Déterminer le lieu de N lorsque M décrit E.
On exécute la session ou on tape :
−
∗
−
∗
∗ − ∗ − ∗ −
En déplacant le curseur on déplace sur le cercle et on voit décrire le lieu.
La commande de nous donne l’équation du lieu, par exemple :
– pour l’équation du lieu est :
qui est le cercle translaté de dans la translation de vecteur .
On tape si :
et sont alors confondus.
– pour est confondu avec le barycentre des points A,B,C pondérés par
a,b,c.
On tape si :
et sont alors confondus.
– pour l’équation du lieu est :
qui est l’homothétique de dans l’homothétie de entre et de rapport .
On tape si et :
Mh :=affichage(homothetie(G,1-(a+b+c),M),quadrant4); et sont alors confondus.
Soit un point de et soient et définis par :
−→ −→ −→ −→ −→ −→−→ −→
OP= a∗ OA+ b∗ OB+ c∗ OC et MN = a∗ MA+ b∗ MB+ c∗ MC
−→ −→ −→ −→ −→
alors, MN =(a+ b+ c)∗ MO+ a∗ 0A+ b∗ OB+ c∗ OC donc :
−→ −→ −→
MN =(a+ b+ c)∗ MO+ OP
−−→ −→
– Supposons a+ b+ c= 0, alors MN = OP.
−→
Donc N se déduit de M dans la translation de vecteur OP.
3
)
sla
G

N
Mt
x
(P)
r
xe
nt
fi
B
),
)
,M
m
ti
d
on
g
(af
[B
0
t
,
(
0
n
)
m
;
℄
E
)
:
e

2
=
i
P


℄
;segment(0,P)
re
;
a
Mh

=
+
:
M
N
a
℄
p

(
,
=
b
Xcas
,
(
a
=
[
(

Mt
Xcas
w
!=1
h

;

u
A
(
!=0
h

G
a.
uad
2
,[
Sujet
A,a
-
yc
b.

La
)
d?monstration
C
I
)
I
M
i
M
n
+
M
E
affixe(a*A+b*B+
f
1-(a+b+c)
t

G
)
N:
t
,
(
n
o
l
p
M
=
i
E
N=point(-3-4*i)
℄
.
:=[1,-3,2]
n
:
l
O
t
G
,
;
l
)
e
i
ant
P
_
2+
i
(
t
N
_
t
)
n
,
i
(
o
e
p
l
=
e
:
a
C
N
;
i
)
3)
i
ra
2
,q
+
C,
4*x^2+40*x+4*y^2+
℄
32
℄
*y+
([
16
ent
0=

E
f
0
f
1
;
(
)
t
M
n
(
i
+
o
M
p
(
=
b
:
)
B
A
;
a
)
)
2
(
(
e
t
i
n
f
i
(
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N
p
i
=
o
:
=
0
;
80=
t
+4
E
*y
t
160
e
2+
e
16*x^2+96*x+16*y^
e
A
:
;
;
℄
lieu
2
p
E
2
,
:=[2,-3,2]
3
.
,
0
1
t
[
e
M)
e
,
e
r
:
o
;
u
1
g
O
e
e
+

l
N
i

:=[1,-3,1]
2)
℄
dr
n
qua−→ −→
– Supposons a+ b+ c= 1, soit G le barycentre des points A,B,C pondérés par a,b,c. On a donc MG(a+ b+ c)= MN =
−−→ −→ −→ −−→
MG+ GN, soit GN = GM(1−(a+ b+ c))= 1 donc N se trouve en G si a+ b+ c= 1
−→
– Supposons a+ b+ c= 0 et a+ b+ c= 1 soit G le barycentre de A,B,C pondéré par a,b,c. On a donc MG(a+ b+ c)=
−→ −→ −→ −→ −→
MN = MG+GN, soit GN = GM(1−(a+b+c))= 1 donc N se déduit de M dans l’homotétie de centre G et de rapport
1−(a+ b+ c).
Application
– a=1,b=-3,c=2
– a=2,b=-3,c=2
– a=1,b=-3,c=1
4
66Soient un rectangle ABCD et un point M à l’intérieur de ce rectangle. Soit H la
projection de M sur CD.
Comment choisir M pour que la distance MA+ MB+ MH soit minimale ?
Voir , la figure est en niveau 1, pour la solution formelle, exécuter les commandes à partir du niveau 2.
A B
M K M1
B1
D C
Lorsque M se déplace sur une pa-
rallèle à CD la distance MA+ MB est minimum lorsque M se trouve en K sur la médiatrice de AB. En effet si M1 est le
symétrique de M par rapport à K on a KM =