Sujet du bac ES 2008: Mathématique Obligatoire
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Description

Etude de fonction, probabilité et arbre pondéré, étude d'intégrales et d'élasticité, statistique et prévisions.
Sujet du bac 2008, Terminale ES, Liban

Sujets

Informations

Publié par
Publié le 01 janvier 2008
Nombre de lectures 93
Langue Français

Extrait

Liban2008
Exercice1 4points
Communàtouslescandidats
′Soit f une fonction définieet dérivablesur l’intervalle [−4; 6]. On note f sa fonc-
tiondérivée.
La courbe Γ représentative de la fonction f dans un repère orthonormal est tra-
cée ci-dessous ainsi que la droiteΔ d’équation y= x. La courbeΓ et la droiteΔ se
coupentaupointEd’abscisse2.Onsaitparailleursque:
– la courbe Γ admet des tangentes parallèles à l’axe des abscisses aux points
B(−2; 6,5)etC(1;1,75),
– la droite (EF) est la tangente à la courbeΓ au point E; F est le point de coor-
données(4;3)
B
Δ
Γ
F
C
E
→−
j
→−O
i
1. Danscettequestion,déterminerparlecturegraphiqueetsansjustification:
′ ′a. lesvaleursde f (−2)et f (2);
′b. lesvaleursde x dansl’intervalle[-4;6]vérifiant f (x)>0;
c. lesvaleursde x dansl’intervalle[-4;6]vérifiant f(x)6x.
2. Soitg lafonctiondéfiniesur]-4;6]parg(x)=ln[f(x)].Déterminerparlecture
graphiqueetavecjustification:
a. lesvariationsdeg;
b. lalimitedelafonction g quand x tendvers-4.
3. Encadrementd’uneintégrale
Dans cettequestion,toutetracederecherche.mêmeincomplète,oud’initiative
nonfructueuseserapriseencomptedansl’évaluation.
Z4
a. Soitl’intégrale I= f(x)dx.Interprétergraphiquement I.
2
b. Proposerunencadrementdel’intégraleI pardeuxnombresentiersconsé-
cutifs.Justifier.
Page1/5Exercice2 5points
Candidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Un club de remise en forme propose, outre l’accès aux salles de musculation, des
courscollectifspourlesquelsunsupplémentestdemandélorsdel’inscription.Une
ficheidentifie chaque membreet sontype d’abonnement :avec ou sanscours col-
lectif.
Uneétudesurlesprofilsdesmembresdececlubamontréque:
40%desmembressontdeshommes.
65%desmembressontinscritsauxcourscollectifs.
Parmi les femmes, membres de ce club, seulement 5 % ne sont pas inscrites aux
courscollectifs.
Onchoisituneficheauhasardetonconsidèrelesévènements suivants:
– H:«laficheestcelled’unhomme»,
– F:«laficheestcelled’unefemme»,
– C:«laficheestcelled’unmembreinscritàdescourscollectifs».
Rappeldenotation:SiAetBsontdeuxévènementsdonnés, p(A)désignelaproba-
bilitédeAet p (A)désignelaprobabilitéconditionnelledeAsachantB.B
C), p (C) et les reporter sur un1. Donner les probabilités suivantes : p(H), p (F F
arbrepondéré modélisant la situation qui sera complété aucours dela réso-
lutiondel’exercice.
2. a. Déterminer p(F∩C).
b. Montrerque p(H∩C)=0,08.
c. On tire la fiche d’un homme, quelle est la probabilité que celui-ci soit
inscritauxcourscollectifs?
d. Compléterl’arbrepondérédelaquestion1.
3. On choisit auhasard une fiche d’un membre non inscrit aux courscollectifs.
Quelle estlaprobabilitéquecesoit celled’unhomme? (donnerlavaleur dé-
cimalearrondieaucentième).
4. Pour vérifier labonnetenue desonfichier, lapersonne chargéedelagestion
dececlubprélèveuneficheauhasardetlaremetaprèsconsultation.Ellepro-
cède ainsi trois fois de suite. Quelle est la probabilité qu’au moins une des
fichessoitcelled’unmembrenoninscritauxcourscollectifs?
Exercice2 5points
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
UneconsommatriceappréciedeuxtypesdefruitsA etB.Enunmois,elleachète x
kilosdefruitsA et y kilosdefruitsB; x et y appartiennentàl’intervalle[1;10].
Sonniveaudesatisfactionestmodéliséparlarelation f(x ; y)=lny+2lnx.
La figure ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, la surface d’équation
z= f(x ; y)pour16x610et16y610.
Page2/56-7
5-67
4-56
5 3-4
4 2-3
93z 1-2
72
0-1
5 x1
3
0
11 2 3 4 5 6 7 8 9 10y
1. Le point N, d’ordonnée 5 et de cote ln30, appartient à la surface. Calculer la
valeurexactedesonabscisse.
2. Onpeut estimer quelekilo defruitsA coûte3eurosetquecelui defruitsB
coûte2euros.Laconsommatricedécidedenepasdépenser plusde36euros
parmoispourcesfruits.
a. Donner la relation entre les quantités x et y de fruitsA etB achetées
pourunmontantde36euros.
b. Montrer qu’alors le niveau desatisfaction dela consommatrice est égal
àln(18−1,5x)+2lnx.
c. Démontrerque,surl’intervalle[1;10],lafonction g définiepar
g(x)=ln(18−1,5x)+2lnx admetun maximuïn pour une valeur x que0
l’onprécisera.
d. Quelles quantités de fruitsA et de fruitsB la consommatrice doit-elle
acheterdanslemoissielleveutoptimisersonniveaudesatisfactiontout
enrespectantsacontraintedebudget?
Exercice3 7points
Communàtouslescandidats
PartieA:Étuded’unefonction
Onconsidèrelafonction f définiesur[0;+∞[par:
−0,5xf(x)=(x+8)e .
′On note f sa fonction dérivée et on admet que, pour tout x de [0 ; +∞[, on a :
′ −0,5xf (x)=(−0,5x−3)e .
1. Étudierlesensdevariationdelafonction f sur[0;+∞[.
−0,5x2. Démontrer que la fonction F définiesur [0 ;+∞[ par F(x)=(−2x−20)e
estuneprimitivede f surcemêmeintervalle.Z4
3. Calculerl’intégrale I= f(x)dx;ondonneralavaleurarrondieà0,01près.
2
Page3/5PartieB:Applicationséconomiques
Lafonctiondedemanded’unproduitinformatique estmodélisée parlafonction f
étudiéedanslapartieA.
Le nombre f(x) représente la quantité demandée, exprimée en milliers d’objets,
lorsqueleprixunitaireestégalà x centainesd’euros.
1. Calculer le nombred’objets demandés, àl’unité près, lorsque leprixunitaire
estfixéà200euros.
2. En utilisant les résultats de la partie A, déterminer la demande moyenne à
10objetsprès,lorsqueleprixunitaireestcomprisentre200et400euros.
3. L’élasticité E(x) de la demande par rapport au prix x est le pourcentage de
variationdelademandepouruneaugmentationde1%de x.
Onadmetqu’unebonneapproximationdeE(x)estdonnéepar:
′f (x)
E(x)= ×x.
f(x)
2
−0,5x −3x
a. DémontrerqueE(x)= .
x+8
b. DéterminerlesignedeE(x)sur[0;+∞[etinterprétercerésultat.
c. Calculerleprixpourlequell’élasticitéestégaleà−3,5.
Commentévoluelademandelorsqueleprixpassede800à808euros?
Exercice4 4points
Communàtouslescandidats
Letableauci-dessousdonnelaproductiond’électricitéd’originenucléaireenFrance,
expriméeenmilliardsdekWh,entre1979et2004.Lesrangsdesannéessontcalculés
parrapportàl’année1975.
Année 1979 1985 1990 1995 2000 2001 2002 2003 2004
Rangdel’année x 4 10 15 20 25 26 27 28 29i
Production y 37,9 213,1 297,9 358,8 395,2 401,3 416,5 420,7 427,7i
Source:siteInternetministèredel’industrie
Cesdonnéessontreprésentéesparlenuagedepointsci-dessous:
500
400
300
200
100
0
0 5 10 15 20 25 30
A-Recherched’unajustementaffine
1. Donner à l’aide de la calculatrice, une équation dela droited’ajustement af-
finede y en x par laméthode desmoindrescarrés(lescoefficients serontar-
rondisaudixième).
2. a. D’aprèscetajustement,quelleseraitlaproductiond’électriciténucléaire
enFranceen2005?
Page4/5
rrrrrrrrrb. Enréalité,en2005,laproductiond’électriciténucléaireaétéde430mil-
liardsdekWh. Calculer le pourcentage del’erreur commise par rapport
àlavaleurréelle,arrondià0,1%près,lorsqu’onutiliselavaleurfournie
parl’ajustement affine.
B-Unautremodèle
Comptetenudel’alluredunuagedepoints,onchoisitunajustementlogarithmique
et on modélise la production d’électricité nucléaire par la fonction f définie pour
tout x de[4;+∞[par: f(x)=197lnx−237.
1. Calculer la production d’électricité nucléaire prévisible avec ce modèle pour
l’année2005.Quelleconclusionpeut-onentirer?
2. a. Résoudredans[4;+∞[l’inéquation f(x)>460.
b. Aveccemodèle,enquelleannéepeut-onprévoirquelaproductiond’éner-
gienucléairedépassera460milliardsdekWh?
Page5/5

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