Sujet du bac ES 2010: Mathématique Obligatoire

Education Nationale

Description

Probabilités conditionnelles, ajustement affine et logarithmique, calcul d'annuités et d'intérêts, étude de courbe.
Sujet du bac 2010, Terminale ES, Pondichéry

Sujets

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 75
• Langue: Français

Extrait

[ BaccalauréatESPondichéry21avril2010\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Lors des journées «rouges» selon Bi-
son Futé, l’autoroute qui relie Paris à
Marseille est surchargée. Il est donc
conseillé de prendre un itinéraire de
délestage entre Beaune et Valence (qui
ne passe pas par Lyon) afin d’éviter les
éventuels«bouchons»autoroutiers.
Entre Valence et Marseille il est égale-
ment conseillé de prendre la route dé-
partementale représentée pardespoin-
tilléssurlacarte.
Bison Futé a publié les résultats d’une
étude portant sur les habitudes des au-
tomobilistes sur le trajet entre Paris et
Marseillelorsdecesjournées«rouges».
Ils’avèreque:
• 40%desautomobilistesprennentl’itinérairededélestageentreBeauneetVa-
lence;
• parmiles automobilistes ayantsuivi l’itinéraire dedélestage entreBeaune et
Valence,30%prennentlaroutedépartementaledeValenceàMarseille;
• parmilesautomobilistesn’ayantpassuivil’itinérairededélestageentreBeaune
etValence,60%prennentlaroutedépartementaledeValenceàMarseille.
Onnote:
B l’évènement «l’automobiliste prend l’itinéraire de délestage entre Beaune et Va-
lence»etB l’évènement contraire;
V l’évènement«l’automobilisteprendlaroutedépartementaleentreValenceetMar-
seille»etV l’évènementcontraire.
1. a. Représenterlasituationàl’aided’unarbrepondéré. ³ ´
b. Montrer que la probabilité del’évènement B∩V est p B∩V =0,24 et
interprétercerésultat.
c. Calculer la probabilité que l’automobiliste ne choisisse pas la route dé-
partementaleentreValenceetMarseille.
2. Ondonnelestempsdeparcourssuivants:
Paris–Beaune(parautoroute):4heures;
Beaune–Valence(parautoroute,enpassantparLyon):5heures;
Beaune–Valence (par itinérairededélestage, ennepassant paspar Lyon):
4heures;
Valence–Marseille(parautoroute):5heures;
Valence–Marseille(parlaroutedépartementale):3heures.
a. Calculer lestemps deparcoursentreParisetMarseille, selonl’itinéraire
choisi.
Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi
de probabilité de la durée du trajet pour se rendre de Paris à Marseille
selonl’itinérairechoisi.BaccalauréatES A.P.M.E.P.
Tempsenheures 11 14
Probabilité 0,24
b. Calculer l’espérance decette loien heureset endonner une interpréta-
tion(laconversionenheureminuteseconden’estpasattendue).
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
LespartiesAetBsontindépendantes
PartieA
Le tableau ci-dessous donne l’évolution, par période de cinq ans, dela population
globaledesdeuxAllemagnes(R.F.A.etR.D.A.)de1958à1973.
Année 1958 1963 1968 1973
Rangdel’année x 16i64 1 2 3 4i
PopulationdesdeuxAllemagnesy en 71,5 74,4 77 78,8i
millionsd’habitants16i64
Source:INSEE
Cesdonnéessontreprésentéesparlenuagedepointsci-dessous:
y :population(enmillions)83 i
81
79
77
75
73
71
69
0 1 2 3 4 5
x :rangdel’annéei
L’alluredecenuagesuggèreunajustementaffine.
1. Déterminer, en utilisant une calculatrice, une équation de la droite d’ajuste-
ment de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront
arrondisaucentième).
2. En1993,lapopulationglobaledel’Allemagneréunifiées’élevaità81millions
d’habitants.
L’ajustement proposéest-iladapté?
PartieB
On étudie ci-dessous l’évolution de la population de l’Allemagne sur une période
plusétendue(àpartirde1990,ils’agitdelapopulationdel’Allemagneréunifiée).
Pondichéry 2 21avril2010
bbbbBaccalauréatES A.P.M.E.P.
Année 1958 1963 1968 1973 1993 1998 2003 2008
Rang de l’année 1 2 3 4 8 9 10 11
x , 16i611i
Population de l’Alle- 71,5 74,4 77 78,8 81 82,1 82,5 82,2
magne y en millionsi
d’habitants16i611
Source:INSEE
Cesdonnéessontreprésentéesparlenuagedepointsci-dessous:
y :population(enmillions)i
83
81
79
77
75
73
71
69
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x :rangdel’annéei
Auvudel’alluredunuage,unajustementlogarithmiquesembleplusapproprié.
yi
100Pourcelaonpose z =e ,pour16i611.i
1. Recopiersurlacopieetcompléter ladernièrelignedutableauci-dessous(les
résultatsserontarrondisaucentième).
Année 1958 1963 1968 1973 1993 1998 2003 2008
Rang de l’année 1 2 3 4 8 9 10 11
x , 16i611i
yi
100z = e (arrondi aui
centième)16i611
2. Endéduire,enutilisantlacalculatrice,uneéquationdeladroited’ajustement
affine de z en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. On donnera
la réponse sous la forme z= ax+b, les coefficients a et b seront arrondisau
centième.
3. En déduire que l’ajustement logarithmique recherché est donné par l’équa-
tion y=100ln(0,02x+2,07).
4. À l’aidedecenouvel ajustement, donner une estimation delapopulation de
l’Allemagneen2013.
EXERCICE 2 5points
Pourlescandidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
Onconsidèreunespacedejeuréservéàdesenfants.
Pondichéry 3 21avril2010
bbbbbbbbBaccalauréatES A.P.M.E.P.
Lesenfantspeuventsedéplacersurcinqplates-formesnotéesA,B,C,DetE.
Cesplates-formessontreliéesentreellesparuncertainnombrederampes,comme
indiquésurleschémaci-dessous:
D
C
EB
A
D
On représente cet espace de jeu par le
grapheGci-contre:
BUne plate-fonne est représentée par un
sommetetunerampeestreprésentéepar C
unearête. E
A
PartieA
1. Donnerunsous-graphecompletd’ordre4dugrapheG.
2. EndéduireunencadrementdunombrechromatiquedugrapheG,Justifierla
réponse.
3. ProposerunecolorationdugrapheGenexpliquantlaméthodeutilisée.
4. EndéduirelavaleurdunombrechromatiquedugrapheG.
PartieB
1. Cegrapheest-ilconnexe?Est-ilcomplet?Justifierlesréponses.
2. Cegraphecontient-ilunechaineeulérienne?Justifierlaréponse.
3. Si on rajoute une arête à ce graphe, quels sommets peut-on alors relier pour
quelegrapheobtenucontienneuncycleeulérien?Justifierlaréponse.
PartieC
Ondécidedepeindrelessurfacesdescinqplates-formesenattribuantdescouleurs
différentesàdeuxplates-formesreliéesparunerampe.
1. Quelestlenombreminimumdecouleursnécessaire?Justifierlaréponse.
2. Onproposeauxenfants lejeusuivant:ils’agitdepartirdelaplateforme Cet
derejoindrelaplateformeEenutilisanttouteslesrampes,etsanspasserdeux
foisparlamêmerampe.
Proposeruncheminremplissantlesconditionsexposéesci-dessus.
Pondichéry 4 21avril2010
bbbbbBaccalauréatES A.P.M.E.P.
3. Pour faciliter le déplacement des enfants dans cet espace de jeu, on décide
d’installer une nouvelle rampe. Où peut-on placer cette rampe pour obtenir
l’existenced’uncheminqui,partantd’uneplate-fonnedonnée,emprunteune
etuneseulefoischaquerampepourreveniràlaplate-fonneinitiale?Justifier
laréponse.
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
LespartiesAetBsontindépendantes
PartieA
Onconsidèrelafonction A définiesurl’intervalle[1;+∞[par
4
A(x)= .
−0,039x1−e
1. Calculerlalimitede A(x)quand x tendvers+∞.
′2. Onadmetquelafonction Aestdérivablesur[1;+∞[etonnote A safonction
dérivéesurcetintervalle.Montrerque,pourtout x appartenantà[1;+∞[on
a
−0,039x
−0,156e′A (x)= .¡ ¢2
−0,039x1−e
′3. Justifierque A (x)<0pourtout x appartenantà[1;+∞[.
Dresserletableaudevariationsde A sur[1;+∞[.
PartieB
Unparticuliersouhaite réaliserauprèsd’unebanqueunempruntd’unmontantde
100000(àuntauxannuelfixé.
On admet que, si l’on réalise cet emprunt sur une durée de n années (n> 1), le
montant d’une annuité (somme à rembourser chaque année, pendant n ans) est
donnéenmilliersd’eurospar
4
A(n)=
−0,039n1−e
Pourunempruntfaitsurn années(n>1),onnote:
S(n)lemontanttotalpayéàlabanqueauboutdesn années(enmilliersd’euros);
I(n)letotaldesintérêtspayésàlabanqueauboutdesnannées(enmilliersd’euros).
Danslesquestionsquisuivent,ondonneralesrésultatsarrondisaumillième.
1. Calculer A(1), A(10)et A(20)etinterprétercesrésultats.
4n
2. DémontrerqueI(n)= −100pourtoutn>1.
−0,039n1−e
3. Recopieretcompléterletableausuivantsurvotrefeuille.
Duréedel’empruntn 10 15 20
ans ans ans
Montantd’uneannuité A(n)
MontantS(n)desn annuitéspayéesàlabanque
Intérêts I(n)versésàlabanque
Pondichéry 5 21avril2010BaccalauréatES A.P.M.E.P.
4. Pourfaciliter l’étude desvaleursde A(n), S(n)et I(n), onutilise lesfonctions
A, S et I définiessur[1; 20]par:
4 4x 4x
A(x