Sujet du bac ES 2010: Mathématique Spécialité - Amérique du Nord

Education Nationale

Description

QCM étude de courbe, probabilités évènementielles et arbre prondéré, analyse de fonction, graphe probabiliste.
Sujet du bac 2010, Terminale ES, Amérique du Nord

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• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 69
• Langue: Français

Extrait

[BaccalauréatESAmériqueduNord3juin2010\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Onconsidèrelafonction f définieetdérivablesurl’intervalle[−2 ; 11],etondonne³ ´
→− →−
sacourbereprésentativeC dansunrepèreorthogonal O, ı ,  ,figureci-dessous.f
C
4
3
D
2 B
1
A
E
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
F
−1
OnsaitquelacourbeC passeparlespointsA(−2; 0,5),B(0;2),C(2;4,5),E(7,5;0)f
etF(11;−0,75).
LestangentesàlacourbeC auxpointsA,B,C,DetFsontreprésentéessurlafigure.f
On utilisera les informations de l’énoncé et celles lues sur la figure pour répondre
auxquestions.
Pourchacunedesquestions,uneseuledesréponsesA, B, CouDestexacte.Indiquer
sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choi-
sie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une
réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse ne rapporteaucun point et
n’enenlèveaucun.SiletotaldespointsestnégatiflanoteestramenéeàO.
′1. f (0)estégalà:
1
A: B:2 C:4
2
′2. f (x)estpositifsurl’intervalle:
A:]0; 11[ B:]0;7,5[ C:]−2; 2[
3. UneéquationdelatangenteàlacourbeC aupointDest:f
A: y=−x+6,5 B: y=x−6,5 C: y=−2x+11
bbbbbbBaccalauréatES
4. UneprimitiveF delafonction f surl’intervalle[−2; 11]:
A:admetunmaximumen x=2.
B:eststrictementcroissantesurl’intervalle[−2; 7,5].
C:eststrictementdécroissantesurl’intervalle]2; 11[.
5. Surl’intervalle[−2; 11],l’équationexp[f(x)]=1:
A:admetunesolution.
B:admetdeuxsolutions.
C:n’admetaucunesolution.
EXERCICE 2 5points
Communàtouslescandidats
Un commerçant spécialisé en photographie numérique propose en promotion un
modèle d’appareil photo numérique et un modèle de carte mémoire compatible
aveccetappareil.
Ilaconstaté,lorsd’uneprécédentepromotion,que:
• 20%desclientsachètentl’appareilphotoenpromotion.
• 70%desclientsquiachètentl’appareilphotoenpromotionachètentlacarte
mémoireenpromotion.
• 60% des clients n’achètent ni l’appareil photo en promotion, ni la carte mé-
moireenpromotion.
Onsuppose qu’unclientachèteauplusunappareilphotoenpromotionetauplus
unecartemémoireenpromotion.
Uncliententredanslemagasin.
OnnoteAl’évènement:«leclientachètel’appareilphotoenpromotion».
OnnoteCl’évènement :«leclientachètelacartemémoireenpromotion».³ ´
1. a. Donnerlesprobabilités p(A)etp A∩C .
b. Unclientn’achètepasl’appareilphotoenpromotion.Calculerlaproba-
bilitéqu’iln’achètepasnonpluslacartemémoireenpromotion.
2. Construireunarbrepondéréreprésentantlasituation.
3. Montrerquelaprobabilitéqu’unclientachètelacartemémoireenpromotion
est0,34.
4. Un client achète la carte mémoire en promotion. Déterminer la probabilité
quececlientachèteaussil’appareilphotoenpromotion.
5. Lecommerçantfaitunbénéficede30(surchaqueappareilphotoenpromo-
tionetunbénéficede4(surchaquecartemémoireenpromotion.
a. Recopieretcompléterletableausuivantdonnantlaloideprobabilitédu
bénéficeparclient.Aucunejustificationn’estdemandée.
Bénéficeparclienteneuros 0
Probabilitéd’atteindrelebénéfice 0,6
b. Pour100clientsentrantdanssonmagasin,quelbénéficelecommerçant
peut-ilespérertirerdesapromotion?
6. Trois clients entrent dans le magasin. On suppose que leurs comportements
d’achatsontindépendants.
Déterminer la probabilité qu’au moins un de ces trois clients n’achète pas
l’appareilphotoenpromotion.
AmériqueduNord 2 3juin2010BaccalauréatES
EXERCICE 3 5points
Communàtouslescandidats
PartieA-Étudepréliminaire
Onconsidèrelafonction g définiesurl’intervalle]0;+∞[par
g(x)=1−2ln(x). ³ ´
→− →−
Ondonneci-dessoussacourbereprésentativeC dansunrepèreorthonormé O, ı ,  .g
CettecourbeC coupel’axedesabscissesaupointd’abscisseα.g
4
3
2
1
→−

α
→−
ı 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
Cg
−4
1. Déterminerlavaleurexactedeα.
2. Onadmetquelafonctiong eststrictementdécroissantesurl’intervalle]0; +∞[.
Donner,enjustifiant,lesignedeg(x)surl’intervalle]0;+∞[.
PartieB-Étuded’unefonction
2ln(x)+1
Soit f lafonctiondéfiniesurl’intervalle]0;+∞[par f(x)= .
x
ln(x)
1. Déterminerlalimitede f en+∞(onrappelleque lim =0).
x→+∞ x
Onadmettraque lim f(x)=−∞.
x→0
g(x)′ ′2. a. Calculer f (x)etmontrerque f (x)= .
2x
′b. Étudierlesignede f (x)etendéduireletableaudevariationsdelafonc-
tion f.
3. a. DétermineruneprimitiveF delafonction f surl’intervalle]0;+∞[.
1 1
Onpourraremarquerque f(x)=2× ×ln(x)+ .
x xZ51
b. Soit I= f(x)dx. Déterminer la valeur exacte de I, puis en donner
4 1
unevaleurapprochéeaucentièmeprès.
AmériqueduNord 3 3juin2010BaccalauréatES
PartieC-Applicationéconomique
Danscettepartie,onpourrautilisercertainsrésultatsdelapartieB.
Une entreprise de sous-traitance fabrique des pièces pour l’industrie automobile.
Sa production pour ce type de pièces varieentre 1000 et 5000 pièces par semaine,
selonlademande.
Onsupposequetouteslespiècesproduitessontvendues.
Lebénéficeunitaire,enfonctiondunombredepiècesproduitesparsemaine, peut
être modélisé par la fonction f définie dans la partie B, avec x exprimé en milliers
depièceset f(x)expriméeneuros.
1. Déterminer, au centime près, la valeur moyenne du bénéfice unitaire pour
uneproductionhebdomadairecompriseentre1000et5000pièces.
2. Dans cette question, la réponse serasoigneusement justifiée. Toute tracede re-
cherche,mêmeincomplète,oud’initiativenonfructueuse,serapriseencompte
dansl’évaluation.
Pourquelle(s)production(s),arrondie(s)àl’unitéprès,obtient-onunbénéfice
unitaireégalà1,05(?
EXERCICE 4 5points
Candidatn’ayantpassuivil’enseignementdespécialité
Craignantunepropagationdegrippeinfectieuse, unservicedesantéd’unevillede
50000 habitants a relevé le nombre de consultations hebdomadaires concernant
cettegrippedanscetteville pendant7semaines. Cessemaines ontéténumérotées
de1à7.
Onanotéx lesrangssuccessifsdessemaineset y lenombredeconsultationscor-i i
respondant:
Rangdelasemaine:x 1 2 3 4 5 6 7i
Nombredeconsultations: y 540 720 980 1320 1800 2420 3300i
1. Tracerlenuagedepointssurunefeuilledepapiermillimétré,onprendra2cm
pour une unité en x et 1 cm pour 200 en y. Un modèle d’ajustement affine a
étérejetéparleservicedesanté.Pourquoi?
2. Pour effectuer un ajustement exponentiel, on décide de considérer les z =i¡ ¢
ln y .i
Reproduireetcompléterletableausuivantsurvotrecopieenarrondissantles
z, à 0,01 près. Il n’est pas demandé de tracer le nuage de points correspon-i
dant.
Rangdelasemaine: x 1 2 3 4 5 6 7i¡ ¢
z =ln y 2420i i
3. Trouveràlacalculatricel’équationdeladroited’ajustementaffineparlamé-
thodedesmoindrescarrésreliant z et x (lescoefficientsobtenusparlacalcu-
latriceserontdonnésà0,1près)puisdéduire y enfonctionde x (ondonnera
ax+blerésultatsouslaforme y=e , a etb étantdeuxréels).
4. Enutilisantcemodèle,trouverparlecalcul:
ea. Uneestimationdunombredeconsultationsàla10 semaine(arrondirà
l’unité).
b. Lasemaine àpartirdelaquelle lenombredeconsultations dépassera le
quartdelapopulation.
AmériqueduNord 4 3juin2010BaccalauréatES
5. Danscettequestion,toutetracederecherche,mêmeincomplète,oud’initiative
mêmenonfructueuse,serapriseencomptedansl’évaluation.
En observant les valeurs données par le modèle exponentiel grâce à un ta-
bleau obtenu à l’aide d’une calculatrice, expliquer si ce modèle reste valable
surlelongterme.
EXERCICE 4 5points
Candidatayantsuivil’enseignementdespécialité
Pendantsesvacancesd’été,Alexala possibilité d’aller sebaignertouslesjours.S’il
vasebaignerunjour,laprobabilitéqu’ilaillesebaignerlelendemainestde0,7.
S’ilnevapassebaignerunjour,laprobabilitéqu’ilaillesebaignerlelendemainest
de0,9.Lepremierjourdesesvacances,Alexvasebaigner.
n étantunentiernaturelnonnul,onnote:
• a laprobabilitéqu’Alexn’aillepassebaignerlen-ièmejour.n
• b laprobabilitéqu’Alexaillesebaignerlen-ièmejour.n
• P =(a b )lamatricelignetraduisantl’étatprobabilistelen-ièmejour.n n n
OnadoncP =(0 1)1
1. a. ReprésenterlasituationparungrapheprobabilistedesommetsAetB(B
représentantl’état«Alexvasebaigner»).
b. SoitM lamatricedetransitionassociéeàcegraphe.Recopieretcomplé-µ ¶
0,1 ...
terM=
... 0,7
2. Calc