Sujet du bac S 2011: Mathématique Spécialité

Education Nationale

Description

Probabilités et loi binomiale, QCM géométrie complexe, analyse de courbe et de dérivée, théorème de Bézout et Gauss
Sujet du bac 2011, Terminale S, Métropole

Sujets

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Informations

• Publié par: le_bachelier
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 103
• Langue: Français

Extrait

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION2011
MATHÉMATIQUES
SérieS
Duréedel’épreuve:4heures Coefficient:9
ENSEIGNEMENTDESPÉCIALITÉ
Lescalculatrices électroniques depoche sontautorisées,
conformément àlaréglementation envigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour
aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises
en compte dans l’appréciation des copies.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte bien 6 pages
numérotées de 1/6 à 6/6.
11MASCSME1 page1/6
SPÉCIALITÉEXERCICE1(4points)
Communàtouslescandidats
LesdeuxpartiesAetBpeuventêtretraitéesindépendamment.
−4Lesrésultatsserontdonnéssousformedécimaleenarrondissantà10 .
Dansunpays,ilya2%delapopulationcontaminéeparunvirus.
PARTIEA
Ondisposed’untestdedépistagedecevirusquialespropriétéssuivantes:
– Laprobabilitéqu’unepersonnecontaminéeaituntestpositifestde0,99(sensibilitédu
test).
– Laprobabilitéqu’une personnenoncontaminéeaituntestnégatifestde 0,97(spécifi-
citédutest).
Onfaitpasseruntestàunepersonnechoisieauhasarddanscettepopulation.
OnnoteV l’événement«lapersonneestcontaminéeparlevirus»etT l’événement«letestest
positif».
V etT désignentrespectivementlesévénementscontrairesdeV etT.
1. a. PréciserlesvaleursdesprobabilitésP(V),P (T),P (T).V V
Traduirelasituationàl’aided’unarbredeprobabilités.
b. Endéduirelaprobabilitédel’événementV ∩T.
2. Démontrerquelaprobabilitéqueletestsoitpositifest0,0492.
3. a. Justifierparuncalcullaphrase:
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de « chances » que la personne soit
contaminée».
b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sa-
chantquesontestestnégatif.
PARTIEB
Onchoisitsuccessivement10personnesdelapopulationauhasard,onconsidèrequelestirages
sontindépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus
parmices10personnes.
1. JustifierqueXsuituneloibinomialedontondonneralesparamètres.
2. Calculerlaprobabilitéqu’ilyaitaumoinsdeuxpersonnescontaminéesparmiles10.
11MASCSME1 page2/6EXERCICE2(4points)
Communàtouslescandidats
Pourchaque question,uneseuledesquatreréponsesproposéesestexacte. Le candidat indiquera
sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un
point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou
encasderéponsefausse.
³ ´→− →−
Leplancomplexeestrapportéaurepèreorthonormaldirect O ; u , v .
Ondésignepar A,B,C,D lespointsd’affixesrespectivesz =1,z =i,z =−1,z =−i.A B C D
π
1. L’imageE dupointD parlarotationdecentre A etd’angle apouraffixe:
3p
1+ 3• z = (1+i),E 2p
1+ 3• z = (1−i),E
2p
1− 3• z = (1−i),E 2p
1− 3• z = (1+i).E 2
2. L’ensembledespointsd’affixez telleque|z+i|=|z−1|est:
• lamédiatricedusegment[BC],
• lemilieudusegment[BC],
• lecercledecentreO etderayon1,
• lamédiatricedusegment[AD].
z+i
3. L’ensembledespointsd’affixez telleque soitunimaginairepurest:
z+1
• ladroite(CD)privéedupointC,
• lecercledediamètre[CD]privédupointC,
• lecercledediamètre[BD]privédupointC,
• lamédiatricedusegment[AB].
π
4. L’ensembledespointsd’affixez tellequearg(z−i)=− +2kπoùk∈Zest:
2
• ledemi-cercledediamètre[BD]passantpar A,
• ladroite(BD),
• lademi-droite]BD)d’origineB passantparD privéedeB,
• lecercledediamètre[BD]privédeB etD.
11MASCSME1 page3/6EXERCICE3(7points)
Communàtouslescandidats
Pourtoutentiernatureln supérieurouégalà1,ondésignepar f lafonctiondéfiniesurRpar:n
n −xf (x)=x e .n ³ ´→− →−
OnnoteC sacourbereprésentativedansunrepèreorthogonal O ; i , j duplan.n
PARTIEA
Surlegraphiqueci-dessous,onareprésentéunecourbeC oùk estunentiernaturelnonnul,k
satangenteT aupointd’abscisse1etlacourbeC .3k µ ¶
4
LadroiteT coupel’axedesabscissesaupoint A decoordonnées , 0 .k 5
y
Tk
Ck
~j
x
~O i A
C3
1. a. Déterminerleslimitesdelafonction f en−∞eten+∞.1
b. Étudierlesvariationsdelafonction f etdresserletableaudevariationsde f .1 1
c. Àl’aidedugraphique,justifierquek estunentiersupérieurouégalà2.
2. a. Démontrerquepourn>1,touteslescourbesC passentparlepointO etunautren
pointdontondonneralescoordonnées.
b. Vérifierquepourtoutentiernatureln supérieurouégalà2,etpourtoutréelx,
′ n−1 −xf (x)=x (n−x)e .n
11MASCSME1 page4/6
3. Surlegraphique,lafonction f sembleadmettreunmaximumatteintpourx=3.3
Validercetteconjectureàl’aided’unedémonstration.
µ ¶
k−2
4. a. DémontrerqueladroiteT coupel’axedesabscissesaupointdecoordonnées , 0 .k
k−1
b. Endéduire,àl’aidedesdonnéesdel’énoncé,lavaleurdel’entierk.
PARTIEB
Ondésignepar(I )lasuitedéfiniepourtoutentiern supérieurouégalà1parn
Z1
n −xI = x e dx.n
0
1. CalculerI .1
2. Danscettequestion,toutetracederechercheoud’initiative,mêmeincomplète,serapriseen
comptedansl’évaluation.
Surlegraphiqueci-dessous,onareprésentélesportionsdescourbesC ,C ,C ,C ,C ,1 2 3 10 20
C comprisesdanslabandedéfiniepar06x61.30
y
0,5
C C C1 2 3
C10
C20
C30 x
0 1
a. Formulerune conjecture surle sens de variationde la suite(I ) en décrivantsa dé-n
marche.
b. Démontrercetteconjecture.
c. Endéduirequelasuite(I )estconvergente.n
d. Déterminer lim I .n
n→+∞
11MASCSME1 page5/6EXERCICE4(5points)
Candidatsayantsuivil’enseignementdespécialité
PARTIEA-Restitutionorganiséedeconnaissances
Onrappelleci-dessouslethéorèmedeBÉZOUT etlethéorèmedeGAUSS.
ThéorèmedeBÉZOUT :
Deuxentiersrelatifsa etb sontpremiersentreeuxsietseulementsi,ilexisteuncouple
(u, v)d’entiersrelatifsvérifiantau+bv=1.
ThéorèmedeGAUSS :
Soienta,b,c desentiersrelatifs.
Sia diviseleproduitbc etsia etb sontpremiersentreeux,alorsa divisec.
1. EnutilisantlethéorèmedeBÉZOUT, démontrerlethéorèmedeGAUSS.
2. Soientp et q deuxentiersnaturelstelsquep etq sontpremiersentreeux.
DéduireduthéorèmedeGAUSS que,sia estunentierrelatif,telquea ≡ 0[p]eta ≡0[q],
alorsa ≡ 0[pq].
.
PARTIEB
Onseproposededéterminerl’ensembleS desentiersrelatifsn vérifiantlesystème:
½
n ≡ 9 [17]
n ≡ 3 [5]
1. Recherched’unélémentdeS .
Ondésignepar(u,v)uncoupled’entiersrelatifstelque17u+5v=1.
a. Justifierl’existenced’untelcouple(u,v).
b. Onposen =3×17u+9×5v.0
Démontrerquen appartientàS .0
c. Donnerunexempled’entiern appartenantàS .0
2. CaractérisationdesélémentsdeS
a. Soitn unentierrelatifappartenantàS .
Démontrerquen−n ≡ 0 [85].0
b. Endéduirequ’unentierrelatifnappartientàS sietseulementsinpeuts’écriresous
laformen=43+85k oùk estunentierrelatif.
3. Application
Zoésaitqu’elleaentre300et400jetons.Siellefaitdestasde17jetons,illuienreste9.Si
ellefaitdestasde5jetons,illuienreste3.
Combiena-t-elledejetons?
11MASCSME1 page6/6