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Document à télécharger - Relativité restreinte et initiation `a la ...

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Ajouté le : 21 juillet 2011
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Sylvain POIRIER http://spoirier.lautre.net/
Relativit´erestreinteet initiationa`laphysiquemathe´matique
1.Introductionge´ne´rale 1.1.Quest-cequelasciencemath´ematique? Pourledirebri`evement,cestle´tudedessyst`emes´eventuellementinnismaisconstitue´sde pursobjets´ele´mentaires,dontlexistenceestabstraite,inde´pendantedumondeext´erieur.Chaque constituant(e´l´ement,relation. . .ˆedeetrlereitfaelueutanpasesruopyeaxtcd,tuedec)`tmesssy toutourien:deuxobjetssonte´gauxoudie´rents,sontreli´esounesontpasrelie´s,uneop´eration donneunr´esultatexactement. . . Lechoixdetelssyste`mes`ae´tudierestlui-mˆeme´egalementunchoixmath´ematique,encesens quilestdonne´pardesconditionsdecomplexit´elimite´e(contrairementparexemple`alabiologiequi d´ependdeschoixarbitrairessecre`tementaccumul´esparlaNaturependantdesmilliardsdann´ees). La science th´ tique est ainsi autonome par rapport aux contingences de notre Univers, mais ma ema peuttoujourssappliquer`achacundesinnombrableslieuxouaspectsparticuliersdecedernierou` detellessituationsdecomplexite´limit´eepeuventserencontrer. Bienquecesobjetssoientdenatureind´ependantedetouteformederepre´sentationsensible(ou apparence)particulie`re,onnepeutlescomprendrequenselesrepr´esentantsousunecertaineforme. Ilpeutyavoirplusieursformulationsoumani`eresdeserepre´senterunemˆemeth´eorie,toutese´tant rigoureusemente´quivalentesentreellesmaisleurecacite´,leurpertinencepeuteˆtretresdi´erente. ` Leplussouvent,leside´essontdabordd´evelopp´eessousformedintuitions,dimaginationsplusou moinsvisuelles,puiscristallise´esendesformulesetdesphraseslitt´erairespoureˆtrecommunique´es, e´critesoutravaille´essouscesautresformes.Etonnepeutselibe´rerduneformederepre´sentation particuli`erequend´eveloppantdautresformesderepre´sentationetensexer¸canta`traduireles objetsetlesconceptsduneforme`alautre. 1.2.Quest-cequelage´ome´trie? ´ Etymologiquement, le motrteimoe´ge´ne,unealorigiodts`,cnerreC.deretelaeisumeisng sciencereli´eea`lare´alit´econcre`te:celledelespacequinousentoure,oucelledesplans:celui du sol lorsqu’il est plat, ou de toute surface plane (papier, tableau. . .), que l’on peut voir et sur laquelleonpeutdessinerfacilement.Lege´om`etregrecEuclideenae´critlepremieruneformulation axiomatiquedanslecasduplan,dou`lenomdo´`lage´ome´trieplaneusuelle. nne a La´eom´etrieeuclidienneestainsilapremi`ereequisyhpeiroe´htneeu´ethieorthma-e´ir-d`at-esc, g matiquequimod´eliselar´ealit´ephysique,enlid´ealisant:tandisquedeuxpointstropproches lundelautrepeuventdicilementeˆtredistingu´espardesmesuresphysiques,enmath´ematique ilfauttrancher:ilssontsoite´gaux,soitdistincts(ainsi,entredeuxpointsdistinctssetrouvent dautrespoints,etainsidesuite:dansunsegmentdedroitedelongueurnieilexisteuneinnit´e depoints).Etontrancheauplussimple:cetteg´eom´etriesed´enitcommee´tantlaplussimple theorieduplanoudelespaceenaccordaveclexpe´riencephysiquehabituelle.Cestaussilunique ´ the´oriedanslaquelleestvraiexactementtoute´nonce´simplequisemblevrai,auxincertitudesde mesurepre`s,pourcettemeˆmeexpe´rience. Pourunmath´ematicienmoderne,lemotg´eom´etried´esignelenomdefamillequeportent ungrandnombredeth´eoriesmath´ematiquesquiontentreellesplusoumoinsdeliensdeparent´e, notamment le fait qu’il est plus ou moins possible de les visualiser, d’en dessiner des figures. D’un pointdevuemath´ematique,ellessonttoutese´galementvraies,serapportanttoutesa`desrealite´s ´ mathe´matiques(desensemblesdepoints. . .). 1.3.Commentpeut-onvisualiserdautresg´eom´etries? 1
Maiscommentvisualise-t-onlag´eom´etrieeuclidienne,dabord?Ellenestpascellequelon voitatlahcuedpmisivsenoarlag´eom´etrieddriceetemtnc,gom´euteri´qeesrphi´e. En effet, la vue d’un point ne nous renseigne que sur la demi-droite issue de l’œil auquel ce pointappartient;etcettedemi-droitepeutserepre´senterparsonpointdintersectionavecune sphe`recentr´eesurlœil.Lorsquonbougelœilet/oulatˆete,lamodicationdecequonvoit corresponda`unerotationdecettesph`ere.Lexempleleplusclairencesensestceluidesobjets astronomiquesdontonnep¸itquelimagesurlasphe`rec´eleste(quitournea`causedela erco rotationdelaTerresurelle-meˆme). Maislag´eom´etrieeuclidienne(duplanoudelespace)estseulementcellequonaleplus l’habitude deconcevoir. Enimaginant une image de dimension 2 (sur la effet, en voyant ou en sphe`redevision),onattribuea`chaquepointunesensationdeproximite´oude´loignement,eton estfamilieraveclamani`eredontcetteperceptionsetransformelorsquontournelobjetouquon changedepointdevueparrapport`alui.Cestcettefacult´e,fruitduneconstructionmentale, quiconstituenotrecompr´ehensiondelage´ome´trie,etnotreagilit´ea`lemployerenrendlusage tellementfacilecommeceluidunesensation´ele´mentaire,quesoncaracte`reindirectenestpresque anecdotique. Or,laperceptionintuitivedesautresge´om´etriesrele`vedumeˆmeprincipe:celuiquiconsiste`a voirune chose pour enconcevoirecnoca`rinevraproutp.Ereuteaunsrteimoe´gse´utreidaainsvoir appuyantsurunevisionqui(h´las)demeurelamˆeme,unbonmoyenestdetravaillersurcette en s e facult´edeconcevoirlespaceeuclidien,enlaparticularisant,enlamodiantouenlag´ene´ralisant. (Maisensuite,ilestvraiquecelienaveclavisionnesepr´eservepasfacilement,etqueletravail deconceptiondevientplusintenseettraduitenformulesavecunroˆledelavisionrelativement moindre). Parexemple,onpeutconcevoirdesespaces(euclidiensounon)dedimensionsup´erieurea ` 3.Ilsnecomportentmathe´matiquementaucuneve´ritablenouveaut´eparrapport`aladroite,au planeta`lespaceusuel,meˆmesilabsencetotaledexp´erienrt`xdonneauxnovices ce par rappo a eu limpressiondunediculte´insurmontable.Pourconcevoircesespaces,onpeutparexemplesedire quonnevoitquedeuxoutroisdimensionsenmˆemetempssousformedecoupeoudeprojection, maisquilyenadautresenr´eserve,onpeutleschanger. . . 1.4Lage´ome´trieeuclidiennede´crit-elleexactementlespacephysique? Non.Nonseulementletempssyajouteenrelativit´erestreintepourformerunespacede dimension4quinestpaseuclidien(lespace-temps)etestplusr´eel(prochedelare´alit´ephysique) quenotreespacededimension3usuel,maismeˆmesionserestreint`aconsid´erersonapparence despacededimension3,lath´eoriedelarelativite´g´en´eralenousenseignequenre´alite´,cetespace, pourautantquonpuisseencorelemesurer,nob´eitpasexactta`l´´trieeuclidienne emen a geome (inde´pendammentdetoutequestiondemate´rialisationdesobjetsoudepr´ecisiondesmesures). Biensuˆr,lerreurdelesupposereuclidienestextrˆemementfaible,plusencorequedautreserreurs beaucouppluscompr´ehensiblesetde´ja`courammentn´eglige´es:lorsquoncartographieuner´egion delaTerre(deform``arre´eparexemple)detailleLilanssimner´t`aulnae,udnoigen e a peu pres c plan,l´eome´tiquenormaledue`alarotondit´edelaTerrevaut(endistancesurleterrain) erreur g r L3 R2 o`uRTarednlearoytsel0kme=637uruopmc4,2elpmexrepaitfauieq,crenlargedener´egio 10 km. Celledue`alarelativit´ege´ne´rale,quimesuredonclememetypeded´ecallageparrapport ˆ `alage´ome´trieeuclidienneplanemaisconcerneleplantangenta`laTerreetconstitueuneet suppl´ementaireparrapporta`celuiquoncalculeraitentermesdelaseulerotondit´edelaTerre, vaut 2L3g Rc2 o` 9,8.s2acc´el´estlpesenaetrruetteaoidnc= 3.108m.s1.imulere`essedelaestlavit ug= m Elleestdonc720millionsdefoisplusfaible(pr´ecise´ment,pournimportequeller´egionchoisie);
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danslecasdelamesuredelaTerreenti`ereaulieudunere´gion,lerreurestdelordredequelques centime`tres.Ainsi,´etantdonn´eunchoixde´quateurparfaitementcirculaire,salongueurest inf´erieure`asadistanceaucentremultiplie´epar2πr´lpcualecslai(mnaecidtsedascesintreauce d´ependdelare´partitiondelamassedelaTerreentrelesdie´rentesprofondeurs). Simaintenantonconside`reunplanvertical,uneautreerreursurvient,elleaussiplusforteque celleissuedelarelativit´eg´en´erale:lesolidedelongueurLque l’on tourne pour comparer des longueurshorizontalesetverticalessede´formesoussonproprepoids(ils´etiresilestpendu,ilse contractesilestpos´e),duneamplitudedelordrede
L2g c02 ou`c0snadnosudessetivtfesui,qdelisolee´iritfnmenero´c`aeureestlac`aersellataipvrit´ed restreinte. Delautrecoˆt´e,laphysiquedelinnimentpetitposeactuellementtellementdeproble`mes quecertainsphysiciensth´eoriciensenvisagents´erieusementquelesconceptsusuelsdege´om´etrie neseraientplusvalablesa`le´chelledePlanck(quiestbienpluspetitequelapluspetitedistance pour laquelle le comportement des particules est actuellement connu). 1.5.Quest-cequelaphysiquemathe´matique? ´ Etat des lieux Ilyadeuxtypesdetravauxenphysiquemath´ematique:laphysiquefondamentaleetla physiqueapplique´e.Lapartiethe´oriquedelaphysiqueappliqu´eeconsisteessentiellementa`d´eve-lopperlesconse´quencesdelaphysiquefondamentale`alaidedapproximationsadapte´es(ensaidant parfoisdelexpe´riencequandlesapproximationssonttropdiciles`are´alisersurleplanthe´orique). Lapartiephysiquedecetouvrageaurapourbutdepr´esenterdesthe´oriesphysiquesfondamen-talesbien´etabliesetlargementve´rie´esa`cejour,desplussimples(math´ematiquementsimpleset prochesdelexpe´riencecourante)auxplus´evolu´ees(mathe´matiquementsophistiqu´eeseta`labase delexplicationduplusgrandnombredeph´enom`enes).Maiscetordrederangementnestpas strict.Dupointdevuedelar´ealite´physique,seuleslesdernie`resauraientletitredeth´eories physiquesfondamentalespuisquellessontphysiquementplusfondamentalesetpre´cis´ementcon-formesa`lare´alite´quelespremi`eresquinensontquedesre´sultatsetapproximations;maisil setrouvequelordrep´edagogiquedesthe´oriesfondamentales(lordredelacompre´hensiondans leurapprentissageetlesensintuitifdonn´eauxnotions)estplusoumoinslinversedeleurordre ded´ependanceentantqueth´eoriesphysiques.(Cestnalementlogiquepuisquesiunethe´orie Autiade´ce´rpieneth´eorBarestino,tsalcqugienem´etpgodauqmeneetiopsyhis`alafBdans la physique appliqu´ ). ee Dabordilyalam´ecaniqueclassique,celledeGalile´eetNewton,quitraitedesforceset desmouvements;laloidelagravitationsy´enoncesimplement.Apartirdelleonpeutavancer dansdeuxdirections,quisontlesdeuxtypesdephysiquemodernequisopposenta`laphysique classique:dunepartlaRelativit´e(restreintepuisge´n´erale),dautrepart,laphysiquequantiqueet laphysiquestatistique,quisontdeuxth´eoriesparenteset´etroitementlie´esentreelles.Cesthe´ories serontintroduitesplusende´tailsdansleschapitrescorrespondants. Nousnepre´ciseronspaslesjusticationsthe´oriquesetexp´erimentalessurlesquellesrepose leurreconnaissance,carcesjusticationssontactuellementinnombrablesetparmielles,celles`a loriginehistoriquedeleurd´ecouverteontde´sormaisperdutoutcaract`ereprivil´egi´e. Unetellede´marchepe´dagogiqued´ebarrass´eedesquestionsdejusticationexpe´rimentaleest largementsatisfaisantedufaitquecesth´eoriesbien´etabliesetv´eri´eesavecuneextreˆmepr´ecision, englobentd´eja`dansleurdomainedapplicationlaplupartdesexp´eriencesdephysiquer´ealisables. Cependant,beaucoupdecesexpe´riencese´chappentenpratique`acettere´duction`acausede lextrˆemecomplexit´edeleurexpressionth´eorique,oudesdiculte´sparfoisinsurmontablesde lar´esolutiondesproble`mesmath´ematiquescorrespondants. Ceci ne fait pas de la physique fondamentale une science morte pour autant, car non seule-mentlesth´eoriese´tabliessontmanifestementincompl`etes(larelativit´eg´en´eraleetlaphysique 3
quantiquesontdicilementconciliablespourdesraisonsimpossiblesa`vulgariser),maislath´eorie quantiquesoussaformecompl`etecompatibleaveclarelativite´restreinte(the´oriequantiquedes champs)sav`ere,auniveaufondamental,dunecomplexite´quasi-insondablemanquantdunfonde-mentmath´ematiquebienclairsurlequelreposer,etletravaildereformulationa`larecherchedun meilleur fondement demeure actif. Aspects philosophiques Mˆemesionsupposaitquelesobjetsphysiquesaientunenature,nousnepourrionsdetoute mani`erepaslaconnaıˆtreparlexp´eriencecartoutesnosperceptionspassentparunetraduction desph´enom`enesexte´rieursenlaconsciencequonpeutavoirdeux.Donc,lemieuxquonpuisse faireestd´etudierlemondephysiqueentantquesyste`memathe´matique,cequinouslaisselibres denouslerepr´esentersousdesformessansrapportaveccellessouslesquellesnouslepercevons habituellement.Expliquonscelaend´etails: Aumoinsjusqua`maintenant,ilsemblequetoutepre´tentiona`direquune´l´ementdelima-ginationseraitplusquunautreressemblanta`lavraienatureduncertaine´l´ementdelar´ealit´e physique est vaine, parce qu’il n’existe aucun moyen de comparer ces natures : toutes nos percep-tionsdumondeexte´rieursontindirectes,traduitesparnotrecorpsenimpulsionsnerveuses,quele cerveauretraitepourendistinguerlesformesglobales.Donc,dumondephysiqueexte´rieur,seules lesstructures,cest-a`-direlesrelationsentreleschoses,sontaccessibles`anossensetpeuventfaire lobjetdenosdiscours,nonunequelconquenatureontologique.Etdetoutemanie`re,comment espe´rerquunobjetphysiquepuisseavoirunequelconqueidentite´denatureavecunph´enom`ene mental ? Par exemple il n’y a aucune ressemblance de nature entre le sentiment d’une couleur et les qualite´sdesobjetsvus,quisontresponsablesdecettecouleur.Cettequalit´econsisteendes coecientsdabsorptiondedi´erentesfr´equencesdondes´electromagne´tiquesparcesobjets,qui d´eterminentlacompositionenfr´equencesdelalumie`requeloeilre¸coit.Puis,cenestquunefaible partie de l’information sur cette composition que les cellules de l’oeil peuvent transmettre (suivant lesproprie´te´sdesmole´culesdanslare´tinequifontcetravail). ´ Egalement,nouspouvonsa`peineimaginerletemps,mˆemejusteconform´ement`alamani`ere dontnouslevivons,quimontreraitlanaturedecetteexp´eriencevivantedutempsau-dela`dela seuleformedeladroitequilerepr´esentemath´ematiquement:enaucuninstantnousnepouvons imaginerunedure´eentantquetelle,puisquuninstantnecontientaucunedur´ee;ilnyaque lesdure´esfuturesquinexistentpasencore,etlesdure´espass´ees,quenouspercevonsdansnotre souvenir.Maisd´eja`,unsouvenirdunedur´eenestplusunedure´e,carilnefaitquerepre´senter cettedur´eeparunecertaineautresensationinstantanee. ´ Ainsi,lapr´etentionded´ecrireleschosescommeellessontseraitvaine,oualors,cenest plusdelaphysiquemaisdelame´taphysique,cequipeut´eventuellementsede´fendre`acondi-tiondelannoncerclairement.Eventuellement,celapeutˆetreutilelorsquontravailleavecune th´eorieprovisoirequonestentrainderemettreenquestionpourtenterdenconstruireuneautre pluspre´cisecommeexplicitationdestructuressous-jacentesa`unestructuredonn´ee(parexemple, celaestpertinentpourpasserdesmolesauxmolecules,etdelathermodynamiqueclassique`ala ´ me´caniquestatistique).Maiscelanalieuquedemani`ererelativeetnonabsolue,etnestpasle casge´ne´ral. LobjetdelaPhysiqueestdoncdede´crirelesloisphysiques,cest`-direlexpressionsous -a formedethe´oriemathe´matiquedesrelationsconstate´esentrelesre´sultatsdenosobservationsdu mondephysique,puisquecestunecaracte´ristiqueg´en´eraledesmathe´matiquesquedesinte´resser auxstructures,relationsentrelesobjets,etnon`aleurnature.Alors,entreplusieurspre´sentations mathe´matiquemente´quivalentes(outraductions)duneth´eorie,faisantdie´rentschoixdeformes dimaginationpourrepre´senterteloutelaspectdelar´ealit´e,lameilleureestcellequipermetde saisircettethe´oriemath´ematiquedelamanie`relaplusfacileouecace. Lintuitionquotidiennedumondephysiqueestadapt´ee`alacompre´hensiondesprobl`emesde laviequotidienne.Maislorsquonveutpassera`le´tudedesstructuresdelar´ealit´equiapparaissent dansdautrescontextes,ilpeuteˆtrejudicieuxdemodiercechoix.Maisdetoutemani`ere,un discourssappuyantainsijudicieusementsurunsyste`meinhabitueldecorrespondancesentreobjets
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re´elsetformesdimaginationemploy´eesa`lesrepre´senter,estdoncbiensuˆrpareillementvidede signicationsurlavraienaturedecesaspectsouobjetsdelare´alit´ephysiquequetoutautre discours. Fautedavoirunethe´oriecomple`tedelaphysique,onadesthe´oriespartielles,dontchacune concernelesproprie´t´esdsr´ltatsdesexpe´riencesduncertaindomaineexpe´rimentaldelare´alite´, e esu cest-a`-direuncertaintypedexp´eriencesavecuncertaindegr´edepre´cisiondesmesures(d´ependant desparam`etresdelexp´erience).Aucoursdelexplorationdelaphysiquemathe´matique,onest amene´a`conside´rerunesuccessiondeth´eoriescorrespondant`adi´erentsdomainesexp´erimentaux, deplusenpluslargesetdontlescons´equencesth´eoriquessontdeplusenpluspre´cis´ementen accordaveclexpe´rience(oudonnentdeplusenplusdinformationsa`luiconfronter). Chacunedecesthe´oriesestdabordparnatureunethe´oriemathe´matique;sasignication physique(sontitredeth´eoriephysique)consistealors`aattribuera`chaqueexpe´riencedudomaine exp´erimentalconside´r´eunetraductiondanslath´eorie,cest-a`-direuncertainsous-syste`medobjets delathe´oriequirepr´esentemath´ematiquementledispositifexperimentalutilise´. ´ Maisuneth´eorieaaussiunesignicationintuitive,quir´esidedanslechoixdelaformede repr´esentationlamieuxadapte´ea`lacompr´ehensiondelath´eorie.Danscetteexploration,beaucoup dethe´oriesg´eom´etriquesinterviennent,nonseulementpourrendrecompteducomportementde lamatie`re´evoluant`alinte´rieurdelespacequinousestfamilier,maisaussipourremplacercet espacelui-mˆemepardautres(cederniercasnarrivepassouvent:principalementenRelativite´ restreinte,Relativite´ge´ne´raleetcequiinclutlagravitationquantique).Et,parminosintuitions oucapacit´eshabituelles`apercevoirlemondephysique,lavisionestcellequiestlaplusclaire math´ematiquement,etlaplusfacile`aexercerpourpouvoir,avecelle,concevoirbeaucoupdeces the´oriesgeometriques. ´ ´ Ladicult´eduna¨ıfa`remettreenquestionlaformedesesperceptionssepr´esen