Les perturbations stationnaires 1 Principe général

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Les perturbations stationnaires 1 Principe général

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Université Paul Sabatier Master de Physique Fondamentale

◦ Ra elsde cours n 1

Les perturbations stationnaires

1 Principegénéral

Mécanique Quantique 20102011

1.1 Positiondu problème On considère la situation d’un hamiltonienHqui se décompose sous la forme H=H 0 +W(1) dans lequelH 0 est un hamiltonien dont on connaît les états propres et valeurs propres (supposés discrets par simplicité) : i0i =E|ϕi, i= 1, ..., g(2) H 0 |ϕi p p p p etWa des éléments de matrice petits devant ceux deH 0 (ou plus précisément devant les différences d’éléments de matrice consécutifs deH 0 ). Ainsi, l’effet deWest de "pertur ber légèrement" les valeurs propres deH 0 . Cette situation se rencontre, soit lorsqueW correspond à une interaction contrôlée et de force variable (par exemple application d’un champ extérieur (électrique ou magnétique) sur l’atome), soit lorsqueWest associé à un effet interne à l’atome (interaction spinorbite par exemple). La théorie des perturbations consiste à partir des états propres et valeurs propres de H 0 , et d’après les éléments de matrice deWdans la base d’états propres deH 0 , à en déduire une expression approchée des valeurs propres et états propres deH. On étudie dans ce chapitre le cas oùHet doncWsont indépendants du temps ce qui correspond aux perturbations stationnaires. Pour exprimer clairement la petitesse des éléments de matrice deWdevant ceux de H 0 , on introduit le paramètre sans dimensionλ 0 en exprimantWsous la forme c W=λ 0 W(3) c avec|λ 0 | ≪1etWopérateur d’éléments de matrice comparables à ceux deH 0 . L’intro duction de ce paramètreλ 0 prend tout son sens dans le cas d’une perturbation liée à un champ extérieur de force variable. Nous verrons en fait que le résultat est indépendant de ce paramètre qui par contre permet de mieux séparer les différents ordres de perturbation. Nous considérerons en fait un problème plus général que le problème initial, dans lequel le Hamiltonien du système dépend de façon continue du paramètreλ: c H(λ) =H 0 +λW .(4) Une fois les solutions générales trouvées, nous substitueronsλ 0 àλpour obtenir la solution du problème initial.