Autour d'un resultat elementaire

Description

Autour d'un resultat elementaire M. Tibouchi 22 mai 2004 Resume Comme promis, mais avec un certain retard, je propose ici une solution propre a l'un des exercices du 21 janvier, avec en prime quelques remarques culturelles s'y rap- portant. Tous les commentaires, demandes d'eclaircissements, corrections, remarques orthographiques ou autres, sont les bienvenus.1 1 Chose promise, chose due. Il s'agissait de montrer que pour tout polynome f non constant a coefficients entiers, il existe une infinite de nombres premiers p tels que f ait une racine modulo p. Posons a = f(0), qu'on peut bien sur supposer non nul, et g(X) = f(aX). Tous les coefficients de g sont divisibles par a, donc on peut ecrire g(X) = a · g0(X), avec g0 polynome a coefficients entiers, de meme degre que f , et verifiant g0(0) = 1. Il suffit de montrer que l'ensemble des nombres premiers modulo lesquels g0 a une racine est infini. Supposons par l'absurde qu'il n'y en ait qu'un nombre fini, et notons m leur produit. Comme le polynome g0(mX) n'est pas constant, il prend sur Z une valeur entiere autre que ±1, et il existe un entier x et un nombre premier tels que |g0(mx).

• theoreme de cˇebotarev


• polynome


• veritable enonce du theoreme


• polynome g0


• racine


• preuve basee


• racine modulo


• theoreme de dirichlet par la methode elementaire

Sujets

• Évariste Galois
• Conrad
• Polynôme
• Racine

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 mai 2004
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

Autourd’unr´esultate´l´ementaire

M. Tibouchi 22 mai 2004

Re´sume´ Commepromis,maisavecuncertainretard,jeproposeiciunesolutionproprea` l’un des exercices du 21 janvier, avec en prime quelques remarques culturelles s’y rap- portant.Touslescommentaires,demandesd’´eclaircissements,corrections,remarques 1 orthographiques ou autres, sont les bienvenus.

1 Chosepromise, chose due. Ils’agissaitdemontrerquepourtoutpolynoˆmeftiens,ercieffitsentnatoca`nonsnoc ilexisteuneinfinit´edenombrespremiersptels quefait une racine modulop. Posons a=fsˆeurrnsiueppnosle,uettbo’nonnup,)uq0(g(X) =f(aX). Tous les coefficients degsont divisibles para,donconpeut´ecrrieg(X) =a∙g 0 (X), avecg 0 aponˆlye`om coefficientsentiers,demeˆmedegre´queffiant´eri,etvg 0 (0) = 1. Il suffit de montrer que l’ensemble des nombres premiers modulo lesquelsg 0 a une racine est infini. Supposons par l’absurde qu’il n’y en ait qu’un nombre fini, et notonsmleur produit. Commelepolynˆomeg 0 (mX) n’est pas constant, il prend surZuenavelruneite`ertuaer que±1, et il existe un entierxet un nombre premier`tels que`|g 0 (mx). Alorsg 0 a en particulier une racine modulo`, donc`|m. Mais alors : g 0 (mx)≡g 0 (0)≡1 (mod`) quiestlacontradictionrecherch´ee. On n’a fait, finalement, que tirer un peu sur la corde de la preuve d’Euclide qu’il yauneinfinite´denombrespremiers.Etilestassezremarquablequ’onpuisseobtenir autantavecsipeudemoyens,carlesr´esultatsanaloguespluspre´cissontconsid´erable- 2 ment plus difficiles. 1 JeremercieenparticulierGae ¨ tanChenevier,C´edricPe´pinetAlexandrePilkiewiczpourleurlectureet leurspr´ecieusesremarques. 2 Cependant,contrairementa`cequ’indiquaituneversionante´rieuredecettenote,ler´esultatselonlequel pour toutfdenoit´eixnifisnt,eiulneesimrepserbmerpmodulo lesquelsfeste´dnics(i.e. le fait que Spl(f) estinfini,aveclesnotationsduparagraphe3)estencore´ele´mentaire,meˆmes’ilrequiertunattirailunpeu plusfourni.Envoiciunede´monstration,suivantunexercicepropose´parGa ¨ etanChenevierenTDd’alg`ebre. Soitα 1 , . . . , α n les racines defdansC, etk=Q(α 1 , . . . , α n rosposcn)elsa’D.e`rpsipoontid´deomec

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