Cobordisme complexe des espaces profinis et foncteur T de Lannes

Xavier Dehon

Description

Cobordisme complexe des espaces profinis et foncteur T de Lannes par Franc¸ois-Xavier Dehon(1) Extrait Table des matieres Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Appendice A. Monades et algebres sur une monade . . . . . . . . . . . . . . 2 A.1. Diagrammes coegalisateurs et monades . . . . . . . . . . . . . . . . 2 A.2. Monades et adjonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 A.3. Application : Monades et categories abeliennes. . . . . . . . . 11 A.4. Resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Appendice B. Produits tensoriels et torsion . . . . . . . . . . .

• existence de s?


• m1 ???


• c0 ?


• complexes c1 ???


• cobordisme complexe des espaces profinis


• diagramme coegalisateur


• morphisme


• complexes de cab

Sujets

• Morphisme

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Extrait

Cobordisme complexe des espaces profinis et foncteur T de Lannes par Fran¸cois-XavierDehon (1) Extrait Tabledesmatie`res Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 AppendiceA.Monadesetalg`ebressurunemonade..............2 A.1.Diagrammesco´egalisateursetmonades................2 A.2. Monades et adjonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 A.3.Application:Monadesetcat´egoriesabe´liennes.........11 A.4.Re´solutions............................................14 Appendice B. Produits tensoriels et torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 AppendiceC.Limitesetd´erives..................................19 ´ Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

(1) L’auteurabe´n´eficie´pendantlarealisationdecetravaild’unebourseindividuelleMarieCuriede ´ laCommissioneurope´enne(HPMF-CT-1999-00135).

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Appendice A Monadesetalge`bressurunemonade Lesnotionsetre´sultatsquisuiventsontclassiquesenthe´oriedescat´egories;nous renvoyonsa`[ Bor ,Chap.4]pourunexpose´plusge´n´eral.L’expos´equisuitest motiv´eparnotreusageconstantdesmonadesetalge`bressurunemonadespourd’une partexprimerlesstructuresadditivesetd’alg`ebreinstabledelaMU-cohomologie continued’unespaceprofinietd’autrepartconstruirecertainsfoncteursassoci´es`a cesstructures(produittensoriel,foncteursdedivision).Sonoriginalite´tient`aceque nousnousrestreignonsauxmonadesavaleursdanslacat´egoriesdesgroupesab´eliens ` gradue´s(plusge´ne´ralementdanslacate´goriedesobjetsengroupesab´eliensd’une cat´egoriesouscertainesconditionssurcettecate´gorie).Lesco´egalisateursr´eflexifs d’alg`ebressurunetellemonadesontscinde´sdanslacate´goriedesensemblesgradue´s, cequientraˆınedesproprie´te´sd’exactitudetr`esfortesdesfoncteursde´finissurla cat´egoriedesalg`ebressurlamonade. Lapremie`resection(A.1)traitedescoe´galisateursde1-complexes(oucoe´galisa- teursr´eflexifs)d’objetsengroupeabe´lien(propositionA.1.2)pourensuitemontrer l’existencedescolimitesdediagrammesd’alg`ebressurunemonadedonn´ee T (propo- sitionA.1.5)etdonneruncrit`ered’exactitudea`droited’unfoncteurd´efinisurles T -alge`bressouscertaineshypothe`sessur T (proposition A.1.6). Elle se termine par la notion de sous-T -alg`ebreetde T -alge`brequotientlorsque T est une monade sur la cate´goriedesensemblesgradue´s. LasectionA.2conside`relamonadeassoci´eea`unepairedefoncteursadjointset montrecommenton´etendparexactitude`adroiteunfoncteurd´efinisurlesobjets libresenunfoncteurde´finisurtouteslesalge`bresassocie´es`alamonade(proposition A.2.2).Onend´eduitunevarianteduth´eor`emedeBeck(propositionA.2.4). DanslasectionA.3onappliquecequipre´c`edepourcaracte´riserlesmonadesdont lacate´goried’alg`ebresassoci´eeestabe´lienne(propositionA.3.2). Laderni`eresection(A.4)traitedesr´esolutions:notiondecomplexeaugment´e acycliquerelativementa`uneclassed’objetsencogroupesab´eliens,versionsimpliciale, r´esolutionsdanslacate´goriedesalge`bressurunemonade.Nousrenvoyons`a[ BB ] pourdescompl´ementssurcedernierpoint.

A.1.Diagrammescoe´galisateursetmonades.— Soit C unecate´gorie.Nous appelons 1-complexe de C et notons C 1 → ← → C 0 un couple de morphismes d 0 , d 1 : C 1 → C 0 entre deux objets de C muni d’une section commune s 0 : C 0 → C 1 . Dualement nous appelons 1-cocomplexe de C un couple de morphismes C 0 → C 1 muni d’un retract commun. Nous dirons qu’un diagramme C 1 ←→→ C 0 → C estco´egalisateursilemorphisme C 0 → C fait de C lecoe´galisateurdesdeuxmorphismesd 0 et d 1 : C 1 → C 0 (Nous dirons alors aussi que C estlecoe´galisateurdu1-complexe C 1 → → ← C 0 ). Idem pour