Construction de valeurs propres doubles du

Pierre Jammes

Description

Construction de valeurs propres doubles du laplacien de Hodge-de Rham Pierre Jammes Résumé. Sur toute variété de dimension au moins 3, on construit une métrique telle que la première valeur propre non nulle du laplacien agissant sur les p-formes di?érentielles soit double. On en déduit qu'on peut prescrire le volume et le début du spectre du laplacien de Hodge-de Rham avec multiplicité 1 ou 2. Mots-clefs : formes di?érentielles, laplacien de Hodge-de Rham, multiplicité de valeurs propres. Abstract. On any compact manifold of dimension greater than 3, we exhibit a metric whose first positive eigenvalue for the Laplacian acting on p-forms is of multiplicity 2. As a corollary, we prescribe the volume and any finite part of the spectrum of the Hodge Laplacian with multiplicity 1 or 2. Keywords : di?erential forms, Hodge Laplacian, multiplicity of eigenvalues. MSC2000 : 58J50, 58C40 1. Introduction Y. Colin de Verdière a montré dans [CdV86] que pour toute variété rie- mannienne compacte M de dimension supérieure ou égale à 3 et tout entier N ≥ 1, il existe une métrique sur M telle que la multiplicité de la première valeur propre du laplacien agissant sur les fonctions de M soit égale à N , et a généralisé ce résultat en montrant qu'on peut en fait prescrire toute partie finie du spectre du laplacien, la multiplicité des valeurs propres pouvant être choisie arbitrairement (voir [CdV87]).

• fibration de hopf définie par les orbites de l'action ?


• point diabolo


• laplacien de hodge


• hodge laplacian


• laplacian acting


• sphère


• anses fines


• spectre du laplacien de hodge

Sujets

• Jammes
• Laplace operator
• Sphère

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• Langue: Français

Extrait

p
p
M
N 1 M
M N
duHoourdge-deaRham?t?PierreectreJammesauR?sum?.concerneSurcommetouter?sultatvhoisieari?t?lesdetiellesdimensionseaualeursmoinspas3,inondconstruitenunealeursm?triquedetelle?rateursqueonlaagissanpremi??revvexactesaleurRham)proprequelconquenonrateurnerullemduleslaplaciesun?galeagissanttpartiesurmlesanduoir-formesdesdi?renptiellesdingersoitcriptiondouble.parOndge-eformesnetd?duitDiracqu'onoppsoneexempleutx?prescrireHledevsurolumecasetcasleaussid?butondusppropre,ectresurdu[Da05]laplsonacienagissandelesHolaplaciendeetdg?n?ralis?gmone-depRhamprescrireaduvlaplacien,ecdesmpultiplici?tret?t1Leoum2.aleursMots-clefs?t?:desformesScdi?ren[BCC98]),tielles,delaplacienspde?t?Ho.dge-dedeRham,Rhammsurultiplicit?dedansvM.al?rateureursMaispropres.deuxAbstrateursct.propresOnsimplesantyformescompactemanifoldceoflaplaciendimensiondge-grleedesatermthanv3,ceswpaseDansexhibitl'opaDirac,metricnewhoseplusrsteutpspineursositivprescrireealeueigenconsid?rationsvtiplicit?alueorteforductionsthe[Da08]Laplaciquiandonn?es).actinglaplacienontdoublesr-formsfonctionsiseofsoitm?ultiplicit,ya2.ceAsenatrancorollaryqu'on,eutwfaitetouteprnieespscribduelatheultiplicit?vvolumepropresandouvantycnitearbitrairemenpart(vof[CdV87]).theprobl?mesplaectrumultiplicit?ofvthepropresHoaussidge?tudi?Laplacianourwithopmdeultiplicithr?y([CdVT93],1etorr?sultats2.pres-Keywdeordsectre:tdierenadapt?stialPforms,Gu?riniHolaplaciendgeHoLaplacian,demultiplicittylesofdieigen?renval[Gu04]ues.parMSC2000Dahl:l'op58J50,de5([Da05]).8C40p1.cesIndernierstro?ra-ductionlesY.aleursColinprescritesdetV(enerdi?rerestreignanaparmonauxtr?codansd[CdV86]degr?queenpquioleuderotoutedev;ari?t?probl?merie-cr?ermanniennevcpropresompacteultiplespropresunedeari?t?dimendanssiondeuxsupn'a?rieureencoreour?solu.?galeldee?-?de3notonsetqu'ontoutsaitennontiersialeurspvtrouvdedes,harmoniquesilc'est-?-direexiste0unevm?triquersusansrdeConstructionulquelleari?t?n'impoirexemplevtelle(vqueparllesatromdeultiplicit?etdeetlar?f?rencespremi?reyvtaleur1propre0< (M;g) (M;g):::p;1 p;2
p M
p
( (M;g)) [ ( (M;g) )p 1;i i1 p;i i1
p M
(M;g) =p;i
(M;g) p [(n 1)=2]n p 1;i
M
n = 2k + 1 2k + 2 k2 N V
N 1 p2f1;:::;k 1g
p = 1 n = 3 0 < ::: p;1 p;2 p;N
p
g M
(M;g) = iN p2f1;:::;k 1gp;i p;i
Vol(M;g) =V
( )p;i
q<k i;jN = = =q;i q;i+1 q+1;j q+1;j+1
q + 1
lalaourvtaleurvpropreoununeulle,msipelledeestaleurexiste,etestersalit?le[CdV98]ermeten-i?metervnompbredegr?despBetticdedepla..On?nerappconsid?rerad'unequeoth?sedesquevD'uneari?t?spsansersalit?,bvord.lesCommequelaetdudonn?s,aecl[Jait?adeultiplicit?Hodedgeparimp(appose5).queerdi?requiersalit?cedeuxstabilit?,etcertainesectionunepropresoss?dequadratique.pcasultiplicit??ri?empcetteestqueoinassured?marctionv-olocypconstruourraLav2.oth?se,conultiplicit?pdeeutourdoncnalemenseenrestreindreleauxaitdegr?saultiplicit?ultiplicit?mCommedeonsoit.Rhamunedge-dedeHosur.lesTh?or?mehera1.2.pSoittrouvdedansunedicevari?t?(cc[CdV88],ompdeacte,alicdeonnexe,tanorientableetetdesansresp.bqueordansddevdimensionultilaplacienoduremarquepropredansleurl'ha-estvourou2,qu'unemon-tellesmm?triquesmettandesuno?diabiremani?re,construserat:commenconstruire,ttfaireundrde?onel?rierstrictementqueppropreositifl'hetOnexpliquaneutenhoisirlicit?suitesunmentier.etOnsortesepdonneunp,ourttoutdeuxentierstprescrireierd?butultiponmdudeectreprobl?mevaumonse1de2..dansconstruction08],vnepropreshercs'appuieraOnl'apparitionalorsph?nom?nevectralpropre?mpr?sence4el'espaceultiplicit?,toutes?formesdiabdegr?est[BW84],r?pLadeded?butaleursundoublesortersur'appd'un(ouspdli?estlaarticledsimcetbaptisdebutolo)dansunedonsuiteondeeutrexemple?erelsdescriptionLe[Ar76]exactesen-co10)-formes[CdV98]lehapitrelesDanssurYtColinagissanVlaplacienformdusepropresnotionaleurstransvvremonlest(1.1)Arnol'd,d?nitchaquepropri?t?svaleurtransvapparforteaissantfaible,aunouspluselleronsdeuxlafois4ppourlesspaleursdonn?.mIlplesexistefunermem?triqueIledanssurquectreletelo?leypquefortevdupsurunelaplacienultiplicit?qu'enonrestrictioneutauxtrerformescettecoultiplicit?exactes.stablettp?videnceourptouttEnolo.eet,certainesinotreetheoninnoteerseagissanonlaplacienauundoinuldiabnsansnoninectreenirsp'hleoth?se;transvet,pprescrirevdea-formesosteriori?ladesaleurbledoublel'ensem?riefaibleyptransv2de.ersalit?.Remarque1.3.n 4 1 p < n=2
M n k 1
g M (M;g) kp;1
M
(M;g)1;1
(M;g)1;1
K(M ;g )j j i=1
eultiplicit?eu2eut-etetnesesemlicit?bleouspastecpargu-ouvaoir?s'adapterorn??sectiondesaleurmaleursultipldeicit?sdansplusd'engrandesbien(vproirgrremarquevar4.5).reIlieconfonctionvienrappt4,toutefoisultiplicit?deetremarquerelquetervsleurucertainesari?t?svdeari?t?s,enlaari?t?sm:ultiprplicit?ladeelasoitpremi?reSiv3,aleurpropresproprecpoui,eutmaximale?treoirarbitrairemenolotngrandetec:lesTh?or?met1.4.pPourdanstouttreronsentiervmpropreslales?o,netdoubles.toutv?ciqueetspettouendandescepqestdge,vilcoexisnitetuneparvari?t?1.5.cdeompeacteeutiliseronsedeledimensionairsquelteldeleQuestionqueestpdeourmultiplicit?toutmentiervuleoementn?,ommentilmulti-existeconstruiuneonm?triquesaquelasur?eserateleledesquequeuliserons.iq3hnexpliqueronstecuneLadouble,ari?t?.savstable.toutesectionssoitnousdeth?or?mesmultiplicit?2.surde.etEnallonsg?n?ral,ronunequipteutddlaoncaleurspaspremiermadejorergencelaaleursmpropresultiplicit?C.deColblaC95]premi?relesproprereli?esennes,fonctiontsdeeladetopermettanologieunecommespc'estauxle:casunesurdelesesurfaces.inMaisIllesexempleexemplesQuestionduLthmultiplicit??olar?meemi?r1.4valeuronoprtdeunesph?rtoppologieelp?traarbitrrtiementcandeuqueli?rele(vgrari?t?s?pro1.6.duiplusts)uneeti?t?ondimensionnelacondetr?leultiplademaleursultiplicit?desdeest-ellan?premi?reessairvbaleurepropreSiquecpvarourlacertainsplicit?degr?sdequ'ontneppsieutvpasencdehoisitoprgieind?pLaendammen2tcodesacr?laautopelologoutilsihniquesen.uti-EnDanscesectionssens,etlenousth?or?mecommen1.2construirequivprescritproprelesetpremi?resourquoivmaestlEnn,eurslespropres5a6,vd?moneclesm1.2ultiplicit?1.4.1Conouergence2vppropresourd'espacestousNouslesrappdeegicir?sosimtilsultan?menhniquestvetnsurinn'impenirorteaquellesvconstructionari?t?,vyproprescomprisLeenestdimensionr?sultat3,conester-bdeaucoupvplusproprespr?cis.d'espacesCesobtenr?parsAnn?ultatsB.poisermetten[Atpdermieuxvcernercompactesleparprobl?meansesgrandedesqu'onmenenclassiellesudessnth?orienes,Hoaplteursd?duirepropresconduergencelaplacienectralederestrictionHoformesdge-deexactesRhamonetdonnedefamilled?gagerequelquesvquestionscompactesquidrestent?ressants?renseraitsuspens,derelielatremparualtiplicit?sesdes3vn 1 2(S ;" g )can
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